课时31平面向量基本定理知识点一平面向量基本定理的理解1.如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是()①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②答案B解析由平面向量基本定理可知，①④正确．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．对于③，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故③不正确．2．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是()A．{e1－e2，e2－e1}B．{2e1＋e2，e1＋e2}C．{2e2－3e1,6e1－4e2}D．{e1＋e2，e1－e2}答案D解析对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．知识点二用基底表示向量3．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP＝aOP1＋bOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0答案B解析取第Ⅲ部分内一点画图易得a＞0，b＜0.4．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且BP＝PC.(1)用基底{AB，AC}表示AP＝________；(2)用基底{AB，PC}表示AP＝________.答案(1)AB＋AC(2)AB＋PC解析(1) AP＝AB＋BP，BP＝PC＝BC，BC＝AC－AB，∴AP＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC－AB＝AB＋AC.(2)AP＝AB＋BP＝AB＋PC.5.在△ABC中，AD＝AB，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设AB＝a，AC＝b，试用基底{a，b}表示DN.解 M为BC的中点，∴BM＝BC＝(AC－AB)＝(b－a)，AM＝AB＋BM＝a＋(b－a)＝(a＋b)． DN∥BM，AN与AM共线，∴存在实数λ，μ，使得DN＝λBM＝λ(b－a)．AN＝μAM＝μ(a＋b)＝a＋b. AN＝AD＋DN＝a＋λ(b－a)＝a＋b，∴根据平面向量基本定理，得∴λ＝μ＝，∴DN＝(b－a)＝－a＋b.知识点三平面向量基本定理的应用6.已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)·OA，实数λ∈(1,2)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点一定共线答案B解析由题意得OM－OA＝λ(OB－OA)，即AM＝λAB.又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案解析设AB＝a，AD＝b，则AE＝a＋b，AF＝a＋b.又 AC＝a＋b，∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝.∴λ＋μ＝.8．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.答案解析如图， a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ，即(t－λ)a＝b.又 a，b不共线，∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.9．如图，已知三点O，A，B不共线，且OC＝2OA，OD＝3OB，设OA＝a，OB＝b.(1)设AD与BC交于点E，试用a，b表示向量OE；(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．解(1) B，E，C三点共线，∴存在实数x，使OE＝xOC＋(1－x)OB＝2xa＋(1－x)b.①同理， A，E，D三点共线，∴存在实数y，使OE＝ya＋3(1－y)b.②由①②，得解得x＝，y＝.∴OE＝a＋b.(2)证明： OL＝，OM＝OE＝，ON＝(OC＋OD)＝，∴MN＝ON－OM＝＝，ML＝OL－OM＝，∴MN＝6ML，∴L，M，N三点共线.易错点忽略两个向量作为基底的条件10.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0易错分析若认为e1，e2是一组...
