课时30共线向量基本定理知识点一共线向量基本定理1.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b.A．①②B．①③C．②D．③④答案A解析由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以； λa－μb＝0，∴λa＝μb，故②可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为()A．8B．－8C．3D．－3答案B解析 a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴即3.如图所示，已知OA′＝3OA，A′B′＝3AB，则向量OB与OB′的关系为()A．共线B．同向C．共线且同向D．共线、同向，且OB′的长度是OB的3倍答案D解析由题意，知OB＝OA＋AB，OB′＝OA′＋A′B′＝3OA＋3AB＝3OB，故选D.知识点二共线向量基本定理的应用4.已知点P是△ABC所在平面内的一点，且3PA＋5PB＋2PC＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为()A.SB.SC.SD.S答案C解析如图，由于3PA＋5PB＋2PC＝0，则3(PA＋PB)＝－2(PB＋PC)，＝.设AB，BC的中点分别为M，N，则PM＝(PA＋PB)，PN＝(PB＋PC)，即3PM＝－2PN，则点P在中位线MN上，则△PAC的面积是△ABC的面积的一半．5．设AB＝(a＋5b)，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则共线的三点是________．答案A，B，D解析BD＝BC＋CD＝a＋5b，AB＝BD，即A，B，D三点共线．6．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.答案或－2解析 a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，∴k2e1＋e2＝m(2e1＋3e2)，∴即3k2＋5k－2＝0，∴k＝或－2.7．设O为△ABC内任一点，且满足OA＋2OB＋3OC＝0，且D，E分别是BC，CA的中点，则△ABC与△AOC的面积之比为________．答案3∶1解析如图，OB＋OC＝2OD，OA＋OC＝2OE，∴OA＋2OB＋3OC＝(OA＋OC)＋2(OB＋OC)＝2(2OD＋OE)＝0，即2OD＋OE＝0，∴DO与OE共线，即D，E，O共线，∴2|OD|＝|OE|，∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，即＝3.8．已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点．用向量法证明：EF∥AB，EF＝(AB＋DC)．证明如图，延长EF到点M，使FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB，得平行四边形ECMB，由平行四边形法则得EF＝EM＝(EB＋EC)．由于AB∥DC，所以AB，DC共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB＝λDC.由三角形法则得EB＝EA＋AB，EC＝ED＋DC且ED＋EA＝0，∴EF＝(EB＋EC)＝(EA＋AB＋ED＋DC)＝(AB＋DC)＝DC，∴EF∥DC.由于E，D不共点，∴EF∥DC∥AB，又|EF|＝＝(|AB|＋|DC|)，∴EF＝(AB＋DC)，所以结论得证.易错点对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a＝(－k，－1)与b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝________.易错分析出错的根本原因是对共线向量基本定理b＝λa理解不透，误认为向量反向时，参数k的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案2正解因为向量a＝(－k，－1)与b＝(4，k)共线，所以k2－4＝0，解得k＝±2，当k＝－2时，b＝2a，此时a与b方向相同，不符合题意，应舍去，因此k＝2.一、选择题1．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1＋2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定答案B解析a＋b＝3e1＋e2，∴c＝6e1＋2e2＝2(a＋b)．∴c与a＋b共线．2．下面向量a，b共线的有()①a＝2e1，b＝－2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2(e1，e2不共线)．A．②③B．②③④C．①③④D．①②③④答案A解析对于①，e1与e2不一定共线，故a与b不一定共线；对于②，a＝－b，∴a，b共线；对于③，a＝4b，∴a，b共线；对于④，若a，b共线，则存在一实数λ，使得b＝λa，即2e1－2e2＝λ(e1＋e2)，得(2－λ)e1＝(λ＋2)e2，当λ＝2时，得e2＝0，e1，e2共线，矛盾，当λ≠2时，e1＝e2，则e1，e2共线，矛盾．故a与b不共线．综上，选A.3．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是()A．AB＋BC＋ACB．A...
