3.4.1函数与方程第1课时函数的零点A级基础巩固1．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解解析：因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解．答案：D2．函数f(x)＝的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：x≤0时由x2＋2x－3＝0⇒x＝－3；x>0时由－2＋lnx＝0⇒x＝e2.答案：C3．方程2x－x2＝0的解的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象略，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.答案：C4．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是()x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)解析：由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，所以f(1)·f(2)＜0.所以f(x)在区间(1，2)上存在零点．答案：C5．(2014·北京卷)f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B.(1，2)C.(2，4)D．(4，＋∞)解析：利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号．由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．答案：C6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点构成的集合是________．解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由f(x)＝0解得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：{－5，1，2}7．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案：08．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．解析：由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.答案：(－∞，1)9．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．解析：因为函数f(x)＝ax－b的一个零点是3，所以x＝3是方程ax－b＝0的根．所以b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.答案：0，－110．设x0是方程lnx＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．解析：令f(x)＝lnx＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，因为f(2)＝ln2＋2－4＜0，f(3)＝ln3－1＞0，所以f(x)在(2，3)内有解．所以k＝2.答案：211．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示，函数的图象有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．12．函数f(x)＝x3－3x＋2.(1)求f(x)的零点；(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.(2)令f(x)＜0，得x＜－2.所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2，1)∪(1，＋∞)．B级能力提升13．函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是()A．(6，7)B．(7，8)C．(8，9)D．(9，10)解析：因为f(9)＝lg9－1＜0，f(10)＝lg10－＝1－＞0，所以f(9)·f(10)＜0.所以y＝lgx－在区间(9，10)上有零点．答案：D14．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则实数a的值为________．解析：依题意可得，方程2a＝|x－a|－1只有一解，则方程|x－a|＝2a＋1只有一解．所以2a＋1＝0.所以a＝－.答案：－15．若函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，试求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．解：函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3.再由根与系数的关系得a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1，易求得函数g(x)的零点为...
