4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示课时跟踪检测一、选择题1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是()A．不共线B．相等C．同向D．反向解析：∵a＝(－2,4)＝－2(1，－2)＝－2b，∴a与b共线，且方向相反，即反向．答案：D2．设向量AB＝(2,3)，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(3,5)D．(4,4)解析：OB＝OA＋AB＝(1,2)＋(2,3)＝(3,5)，故选C．答案：C3．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于()A．45°B．30°C．60°D．30°或60°解析：由a∥b得－2×＝1－cos2θ＝sin2θ，∵θ为锐角，∴sinθ＝，∴θ＝45°.故选A．答案：A4．a＝(x,2)，b＝，c＝a＋2b，d＝2a－b且c∥d，则c－2d＝()A．B．C．(1,2)D．(－1，－2)解析：c＝(x,2)＋2＝(x＋1,4)，d＝2(x,2)－＝，∵c∥d，∴(x＋1)×3＝4，解得x＝1.∴c＝(2,4)，d＝，∴c－2d＝(2,4)－2＝(－1，－2)．答案：D5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，则c＝()A．(－1,1)B．(1，－1)C．(－4,6)D．(4，－6)解析：由题意得4a＋(3b－2a)＋c＝0，∴c＝－4a－(3b－2a)＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．答案：D6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若ma＋nb与a－2b共线，则＝()A．－2B．2C．－D．解析：ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.答案：C二、填空题7．已知a＝(－1,3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x＝________.解析：∵a∥b，∴(－1)·(－1)－3x＝0，x＝.答案：8．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)，且a∥b，则tanθ＝________.解析：∵a∥b，∴2sinθ－(cosθ－2sinθ)＝0，∴cosθ＝4sinθ，∴tanθ＝.答案：9．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ的值是________．解析：设C(x，y)，则OC＝(x，y)，已知OA＝(1,0)，OB＝(0,1)，又OC＝λOA＋μOB＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，∴又∵∠xOC＝，OC＝2，∴x＝2cos＝，y＝2sin＝1.∴λ＋μ＝＋1.答案：＋1三、解答题10．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．解：(1)AB＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，若A，B，C三点共线，则AB与AC共线．∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0.∴a＋b＝2.(2)若AC＝2AB，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，∴∴∴点C的坐标为(5，－3)．11．已知向量AB＝(4,3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求y与λ的值．解：(1)设点B的坐标为(x1，y1)．∵AB＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．∴∴∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1，∴M.(2)由已知得PB＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又∵PB＝λBD，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，即∴12．已知△ABC的面积为14cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE交CD于P，求△APC的面积．解：如图，以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系．设A(0,0)，B(3a,0)，C(3b,3c)，则AD＝AB＝(2a,0)，BE＝BC＝(3b－3a,3c)＝(2b－2a,2c)，AE＝AB＋BE＝(a＋2b,2c)，DC＝DB＋BC＝(3b－2a,3c)．∵点A，P，E和D，P，C分别共线，∴存在λ和μ，使AP＝λAE＝(λ(a＋2b)，2λc)，DP＝μDC＝(μ(3b－2a)，3μc)．又∵AP＝AD＋DP＝(2a＋μ(3b－2a)，3μc)，∴由②得μ＝λ，代入①，化简得7aλ＝6a，∵a≠0，∴λ＝，∴μ＝×＝.于是，△PAB的面积为14×＝8(cm2)，△PBC的面积为14×＝2(cm2)，故△APC的面积为14－8－2＝4(cm2)．13．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．解：(1)由条件可得u(x，y)――→v(y,2y－x)，则f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)．∴解得即c＝(3,4)．(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，又∵λf(a)＝λ(y1,2y1－x1)＝(λy1,2λy1－λx1)，μf(b)＝μ(y2,2y2－x2)＝(μy2,2μy2－μx2)．∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)．∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
