课时作业28二倍角的正弦、余弦、正切公式时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A.B.C.D．1＋解析：利用诱导公式变形产生平方关系式和倍角公式的形式，从而有原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋＝.答案：C2.－等于()A．－2cos5°B．2cos5°C．－2sin5°D．2sin5°解析：原式＝－＝(cos50°－sin50°)＝2(cos50°－sin50°)＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.答案：C3．已知α是第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝()A．－B．－C.D.解析：由sinα＋cosα＝，平方得1＋2sinαcosα＝＝，∴2sinαcosα＝－.∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝.∵α是第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.∴cosα－sinα＝－，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝－.答案：A4．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是()A．1B.C.D．1＋解析：∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，且≤x≤，∴≤2x－≤π.从而可得ymax＝1＋＝.答案：C5．已知＝，则sin2x＝()A．－B．－C.D.解析：∵＝，1∴＝，∴cosx＋sinx＝，∴1＋sin2x＝，∴sin2x＝－.答案：A6．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于()A.B.C.D.解析：∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.∴cosα＝±.又α∈(0，)，∴cosα＝，sinα＝.∴tanα＝.答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知tan(x＋)＝2，则的值为________．解析：∵tan(x＋)＝2，∴＝2，∴tanx＝.∴＝＝＝＝.答案：8．化简：＝________.解析：原式＝＝－＝＝－1.答案：－19．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝，则cos(2θ－15°)＝________.解析：∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝，∴sin(θ＋15°)＝，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝，cos(2θ＋30°)＝2cos2(θ＋15°)－1＝2×－1＝－.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－×＋×＝.答案：三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知α是第一象限的角，且cosα＝，求的值．解：＝＝＝·.由已知可得sinα＝，∴原式＝×＝－.11．已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x的值；(2)若f(θ)＝，求cos2(－2θ)的值．2解：(1)∵a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，∴f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝sin(2x－)＋1.因此，当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋π(k∈Z)时，f(x)取得最大值＋1.(2)∵f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ＝，∴sin2θ－cos2θ＝，两边平方得1－sin4θ＝，即sin4θ＝.∴cos2(－2θ)＝cos(－4θ)＝sin4θ＝.12．已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0<φ<π)，所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝cos(2x－φ)．又函数图象过点(，)，所以＝cos(2×－φ)，即cos(－φ)＝1.又0<φ<π，所以φ＝.(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，因此4x－∈[－，]，故－≤cos(4x－)≤1.所以y＝g(x)在[0]上的最大值和最小值分别为和－.3
