2.6直线与平面、平面与平面垂直的判定练习1.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是().A.(0,)B.[0,)C.(0,]D.[0,]【解析】当a∥α时,θ=0;当a⊥α时,θ=;a和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的取值范围是[0,].【答案】D2.P为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中正确的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.【答案】D3.过平面外一点作该平面的垂线有条;垂面有个;平行线有条;平行平面有个.【答案】一无数无数一4.在四棱锥P-ABCD中,BP=BC,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=DC,E为PD中点.求证:AE⊥平面PDC.【解析】取PC的中点M,连接EM,BM,则EM∥CD,EM=DC,则EM∥AB,且EM=AB,则四边形ABME是平行四边形,∴AE∥BM.∵AB⊥平面PBC,AB∥CD,∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥BM.∵BP=BC,∴BM⊥PC,∴BM⊥平面PDC.又∵AE∥BM,∴AE⊥平面PDC.15.如果直线a是平面α的斜线,那么在平面α内().A.不存在与a平行的直线B.不存在与a垂直的直线C.与a垂直的直线只有一条D.与a平行的直线有无数条【答案】A6.已知菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点E,沿对角线AC将菱形折起,如图所示,则下列命题中正确的是().A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE【解析】因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.【答案】C7.α、β是两个不同的平面,m、n是平面α、β外的两条不同的直线,给出四个结论:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.2【解析】假设①③④为条件,即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立,如图.过m上一点P作PB∥n,则PB⊥m,PB⊥β,设垂足为B.又m⊥α,设垂足为A,过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC,l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB,∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④⇒②成立.反过来,如果②③④成立,与上面证法类似可得①成立.【答案】②③④⇒①或①③④⇒②8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1,点G为CC1上的点,且CG=CC1.求证:CD1⊥平面ADG.【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面CDD1,CD1⊂平面CDD1,故CD1⊥AD.3在Rt△GCD与Rt△CDD1中,==,==,故=,故Rt△GCD与Rt△CDD1相似,所以∠CD1D=∠GDC,∴∠CDG+∠DCD1=90°,故CD1⊥DG,又AD∩DG=D,AD⊂平面ADG,DG⊂平面ADG,所以CD1⊥平面ADG.9.正方形ABCD的边长为12cm,PA⊥平面ABCD,且PA=12cm,则点P到BD的距离为.【解析】连接AC、BD交于点O,易得PO⊥BD,OP为P点到BD的距离,又PA=12,AO=AB=6,∴PO==6cm.【答案】6cm10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形BCC1B1的中心,求证:(1)BC1⊥DO;(2)A1C⊥平面AB1D1.【解析】(1)因为CD⊥平面BCC1B1,所以CD⊥BC1.又BC1⊥B1C,所以BC1⊥平面CDO.所以BC1⊥DO.(2)如图,连接A1C1,A1B,CC1⊥平面A1B1C1D1,因为B1D1⊥A1C1,CC1⊥B1D1,4所以B1D1⊥平面A1CC1.所以B1D1⊥A1C.同理AB1⊥A1C.又B1D1∩AB1=B1.所以A1C⊥平面AB1D1.5