高一数学平面向量人教版【本讲教育信息】一.教学内容：平面向量二.教学重、难点向量的加、减法、实数与向量的积、向量的数量积、向量与三角的综合【典型例题】[例1]（1）已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且，则点P与的位置关系是？（2）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围为？解：（1）∴，故P在AC边上（2） 且与的夹角为钝角。∴，即且，∴[例2]设、、是两两不共线的三个向量。（1）如果，试证：以向量、、的模为边，必能构成一个三角形；（2）如果向量、、能构成一个三角形，问它们应该有怎样的关系？证明：（1）如图，作，，，按向量加法的多边形法则有∴B与D重合，故、、可构成三角形解：（2）设向量、、构成三角形，根据向量加法的三角形法则，有，即 ，或，，或，或∴、、的关系是下列八种的一个：，，实际上只有四种（括号内的式子与前面式子等价）用心爱心专心[例3]已知向量，，且。（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的取值范围。解： ∴，即（1）当时，∴∴，即（2）当，时，∴∴ ∴，从而，即的取值范围为。[例4]在中，AB上有一点P（P点不与A、B重合），O是AB所在直线外一点，且，（、为非零实数）。求证：，且证明：设，则从而，又已知∴，∴，，即[例5]如图所示，，，。（1）若，求与间的关系。（2）若有，求、的值及四边形ABCD的面积。用心爱心专心解：（1） 即∴，又∴整理，得①（2）由又∴即：②解①、②组成的方程组，得或四边形ABCD的面积：当时，，当时，，[例6]已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为。（1）求证：；（2）若，求实数的取值范围。解：（1） ，且、、之间的夹角均为。∴∴（2） ∴ ∴用心爱心专心 ∴解得或[例7]如图，已知顶点A、B、C的坐标分别为、、。（1）求边AB上的中线之长；（2）求在上的射影；（3）求的面积。解：（1）设E是AB的中点，由线段定比分点的中点公式，得∴（2）设向量与的夹角为，则在上的射影是（3）为求的面积，可求出AB边上的高CD。 AD等于在上的射影的绝对值，即，在中，可求得。∴[例8]如图，一条河的两岸平行，河的宽度。一艘船从A出发航行到河对岸，船航行的速度，水流速度，设和的夹角为（）。（1）当多大时，船能垂直到达对岸（即船的实际速度与河岸垂直）？（精确到，可利用计算器计算）（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间最少吗？为什么？用心爱心专心解：（1）船垂直到达对岸，即与垂直，即∴，即∴故又 ，由计算器计算得∴当时，船垂直到达对岸。（2）设当与夹角为时，船航行到对岸所需的时间为。则∴当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸时，须有，这时所需时间不是最少。[例9]设平面内向量与互相垂直，且，，、是两个不同时为零的实数，若，，且。求关于的函数关系式。解： ∴又 ∴即， ∴∴即【模拟试题】一.选择1.有下列四个命题：①；②；③；④若，则其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.42.若向量，，，则等于（）A.B.C.D.用心爱心专心3.已知，，与的夹角为，又，，且，则的值为（）A.0B.6或C.1或D.6或4.已知ABCD中，，，，，对角线AC、BD交于M，则的坐标为（）A.B.C.D.5.设，且P在的延长线上，使，则点为（）A.B.C.D.6.已知平面内三点，，，且，则的值为（）A.3B.2C.D.7.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过（）A.外心B.内心C.重心D.垂心8.把函数的图象按平移到，的函数解析式为，则等于（）A.B.C.D.二.填空1.已知向量，向量与的夹角为，且，则向量或。2.设，与的夹角为，则。3.在中，，则。（结果用反三角函数值表示）4.已知向量，，若，则。三.解答题1.已知，（1）求证：与互相垂直；（2）若与的长度相等，求的值（为非零实数）2.判断下列各题中的形状：（1）已知O为所在平面内一点，且与垂直；（2）已知P为所在平面上的一点，且，。3.已知点，，及（1）为何值时，P在轴上？P在轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由。用心爱心专心用心爱心专心试题答案一.1.A2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.D二.1.或2.3.4.4三.1.证明：（1）按题意知与均为非零...
