第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数在区域D内有定义，当点P(,)沿任意路径无限趋于点()时,无限趋于一个确定的常数A,则称常数A是函数当P(,)趋于时的极限.记作,或,或,,或,或,.其中，.2.二元函数连续的定义：函数在点的某一邻域内有定义，如果对任意，都有（或），则称函数在点处连续.3.偏导数的定义：函数在点的某一邻域内有定义.（1）函数在点处对的偏导数定义为，记作，或，或，或，即=.1/18（2）函数在点处对的偏导数定义为，记作，或，或，或，即=.而称，或，或，或及[，或或，或]为（关于或关于）偏导函数.高阶偏导数：或，或，或，或.同理可得，三阶、四阶、…，以及n阶偏导数.4.全微分定义：设函数在点的某一邻域内有定义，若函数在点的全增量可表示为，其中A、B不依赖于、，仅于、有关，，则称函数在点处可微分，称为函数在点的全微分，记为，即2/18.可微的必要条件：若函数在点处可微分，则（1）函数在点的偏导数、必存在；（2）全微分为.推广：函数在点的全微分为.可微的充分条件：若函数的偏导数、在点处连续在点处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）：（1）含有多个中间变量的一元函数，，，，则，称此导数为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数情形1：，，则，.情形2：，，则，3/18zzz.其中，与是不同的，是把复合函数中的看作不变量而对的偏导数；是把函数中的及看作不变量而对的偏导数。与与也有类似的区别.（3）中间变量为两个，自变量也为两个的二元复合函数设，，，则，.（4）中间变量多于两个的二元复合函数设，，，，则，.6.隐函数微分法（1）一元隐函数设方程确定了是的函数，则方法1：方程两边对求导，见对求导，见对求导，对求导时再乘以；4/18zz方法2：.（2）二元隐函数设方程确定了是、的函数，则，.7.多元函数的极值极值存在的必要条件函数在点处具有偏导数，且取得极值，则必有，.使得，同时成立的点，称为函数的驻点（或稳定点）.极值存在的充分条件函数在点的某邻域内连续，且具有一阶及二阶连续偏导数.又点是函数的稳定点，令，，.Ⅰ.若，则（1）当时,函数在点处取得极小值;（2）当时，函数在点处取得极大值.Ⅱ.若，则稳定点不是函数的极值点.5/18Ⅲ.若，则稳定点可能是极值点，也可能不是极值点，需另行判断.8.二重积分的定义及性质在有界闭区域D上的有界函数，通过“分割、代替、求和、取极限”的过程，而得到的具有特定结构的和的极限，被称为函数在D上的二重积分；它的几何意义是曲顶柱体的体积.在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线网划分区域D，则.性质：下面均假定函数有界闭区域D上可积，则1.（为常数）；2..3.若在闭区域D上，则区域D的面积.4.若，且，则.5.在区域D上，，则，.6.设M、m是函数在闭区域D上的最大值和最小值,A是D的面积，则.6/187.设函数在闭区域D上连续，A是D的面积，则在D上至少存在一点,使得.二、计算方法1.求二重极限的方法（1）若把点代入二元函数中，函数值存在，则函数值就是极限值；（2）若把点代入二元函数中，函数值无意义，则一元函数求极限的所有方法，全部可以应用到求二重极限中去(如重要极限，等价无穷小替换等).2.求偏导数及高阶偏导数的方法（1）求多元函数关于其中一个自变量的偏导数，只需要将另外的所有自变量看作常量，再用一元函数的求导方法求导，就可以得到所选定的自变量的偏导数了；（2）求高阶偏导数方法或，或，或，或.3.求全微分的方法求多元函数（或）的全微分，7/18先求出关于自变量的所有偏导数，（或，，），则全微分（或）.4.多元复合函数求导的方法根据题设条件，分清哪些是中间变量，那些是自变量，画出关系图，根据“同路相乘，异路相加”的原则，求出所需要的导数.如1，，，关系图为：则，.如2，，，，关系图：则，.5.隐函数求导及求偏导的方法（1）一元隐函数求导法则设方程确定了是的函数，则方法1：方程两边对求导，见对求导，见对求导，对求导时再乘以；8/18zz方法2：.（2）二元隐函数①设方程确定了是、的函数，则，.②把方程中的看作隐函数，方程两边求出全微分，则，.（有时可能简单些）注意：首先，一定...
