复变函数复习VIP免费

不考内容《复变函数》第一章：§2.2复球面§2.4区域§5第二部分：映射的概念§6复变函数的极限与连续性第四章§1复数项级数第五章§3留数在定积分上的应用《积分变换》第一章：傅立叶变换第二章：§4卷积注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。复变函数复习第一章复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z=x+iy,其中x,y为实数.(2)复数的几何表示:复数z=x+iy可以用xy平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P点的平面向量来表示.(3)复数的三角表示:复数复数的模复数的辐角Argz=θ,,复数的辐角的主值argzArgz=argz+2kπ(k为整数).规定-π＜argz≤π当时,|z|=0,辐角没有意义.当时,|z|=+∞,没有实部,虚部和辐角.argz()与反正切的主值的关系：第一、四象限x﹥0第二象限x﹤0,y﹥0第三象限x﹤0,y﹤0正虚轴x=0,y﹥0负虚轴x=0,y﹤0负实轴x﹤0,y=0(4)复数的指数表示：2.复数的运算设z1=x1+iy1=,z2=x2+iy2(1)相等z1=z2x1=x2y1=y2(2)加(减)法z1z2=(x1x2)+i(y1y2)(3)乘法z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)(4)除法=+i(z2≠0)(5)乘幂特别|z|=1时,(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(棣莫弗公式)(6)方根(7)共轭=x-iy=re-iθ,=,,;;;,.注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:,,=(z2≠0)3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z变化方式的任意性,即z→z0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x→x0只能沿x轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t的复值函数z=z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)其中x=x(t),y=y(t)(α≤t≤β)是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章解析函数1.复变函数的导数(1)定义函数w=f(z)在其定义域D内一点z0处(可导)的导数若函数w=f(z)在区域D内处处可导,称f(z)在D内可导.(2)f(z)在z0可导连续(3)求导法则若f(z),g(z)在点z可导,则(b为复数);;;,.,其中.,其中与是两个互为反函数的单值函数,且.2.解析函数(1)定义如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z0解析.如果f(z)在z0不解析,则称z0为f(z)的奇点.如果f(z)在区域D内每一点解析,那末称f(z)在D内解析,或称f(z)是D内的一个解析函数.(2)性质两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析有理分式函数在复平面内除了使分母为零的点外处处解析(3)柯西-黎曼方程(C-R方程)函数在定义域D内(解析)一点可导u(x,y)与v(x,y)在(D内)点(x,y)可微,并且满足C-R方程,.推论若f(z)在z处可导,则.3.初等函数定义定义区域单值多值性解析区域(1)对数函数Lnz=lnz+2kπi整个复平面多值整个复平面(z0)(除原点和负实轴)(k=0,±1,±2,…)主值分支(2)乘幂ab=ebLna=eblna+2bki多值(k=0,±1,±2,…)主值分支eblnab为正整数n单值整个复平面n个分支(除原点和负实轴)定义定义区域解析区域单值多值性基本周期奇偶性(3)指数函数ez(4)双曲函数2i偶整个复平面单值奇(5)三角函数2偶奇第三章复变函数的积分1.积分的计算光滑曲线C参数方程:,正向t增加C是包围z0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续(1);(2);(k为常数)(3)(4)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足,那末.3.柯西-古萨基本定理如果函数f(z)在单连域B内处处解析，那末函数f(z)沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零:.推广:(1)闭路变形原理在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.(2)复合闭路定理设C为多连域D内的一条简单闭曲线，C1，C2，…，Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C，C1，C2，…，Cn为边界的区域全含于D.如果f(z)在D内解析,那末1),其中C及Ck均取正向.2),这里г为由C及Ck―（k=1，2，…，n）所组成的复合闭路,其方向是:C...