复变函数论第三版课后习题答案VIP专享VIP免费

第一章习题解答（一）1．设，求及。解：由于所以，。2．设，试用指数形式表示及。解：由于所以。3．解二项方程。解：。4．证明，并说明其几何意义。证明：由于所以其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。5．设z1，z2，z3三点适合条件：0321zzz,1321zzz。证明z1，z2，z3是内接于单位圆1z的一个正三角形的顶点。证由于1321zzz，知321zzz的三个顶点均在单位圆上。因为33331zzz212322112121zzzzzzzzzzzz21212zzzz所以，12121zzzz，又)())((122122112121221zzzzzzzzzzzzzz322121zzzz故321zz，同理33231zzzz，知321zzz是内接于单位圆1z的一个正三角形。6．下列关系表示点的轨迹的图形是什么？它是不是区域。（1）；解：点的轨迹是与两点连线的中垂线，不是区域。（2）；解：令由，即，得故点的轨迹是以直线为边界的左半平面（包括直线）；不是区域。（3）解：令，由，得，即；故点的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。（4）；解：令由，得，即故点的轨迹是以直线为边界的梯形（包括直线；不包括直线）；不是区域。（5）；解：点的轨迹是以原点为心，2为半径，及以为心，以1为半径的两闭圆外部，是区域。（6）；解：点的轨迹是位于直线的上方（不包括直线），且在以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。（7）；解：点的轨迹是以正实轴、射线及圆弧为边界的扇形（不包括边界），是区域。（8）解：令由，得故点的轨迹是两个闭圆的外部，是区域。7．证明：z平面上的直线方程可以写成Czaza（a是非零复常数，C是实常数）证设直角坐标系的平面方程为将代入，得CzBAzBA)i(21)i(21令)i(21BAa，则)i(21BAa，上式即为Czaza。反之：将，代入Czaza得则有；即为一般直线方程。8．证明：平面上的圆周可以写成其中A、C为实数，为复数，且。证明：设圆方程为其中当时表实圆；将代入，得即其中且；反之：令代入得其中即为圆方程。10．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。（1）tzi)1(；（2）tbtazsinicos；（3）ttzi；（4）22ittz，解（1）ttytxtyxz,)i1(i。即直线xy。（2）20,sincossinicosittbytaxtbtayxz，即为椭圆12222byax；（3）tytxttyxz1ii，即为双曲线1xy；（4）22221iitytxttyxz，即为双曲线1xy中位于第一象限中的一支。11．函数zw1将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线ivuwiyxz,？（1）xy；（2）1122yx解222211yxyiyxxiyxzw，2222,yxyvyxxu，可得（1）vyxyyxyyxxu222222是w平面上一直线；（2）21211222222yxxxyxyx，于是21u，是w平面上一平行与v轴的直线。13．试证)arg(argzz在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。证设zzfarg)(，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。当z0为负实轴上的点时，即)0(000xxz，有xyxyzyxxyxxzzarctanlimarctanlimarglim00000所以zzzarglim0不存在，即zarg在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。14．设00zz求证zf在原点处不连接。证由于01limlimlim42062400xxxxxzfxxxyz,0,623yxxyzf21limlim666003yyyzfyyxz可知极限zfz0lim不存在，故zf在原点处不连接。16.试问函数f(z)=1/(1–z)在单位圆|z|<1内是否连续？是否一致连续？【解】(1)f(z)在单位圆|z|<1内连续．因为z在内连续，故f(z)=1/(1–z)在\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆|z|<1内连续．(2)f(z)在单位圆|z|<1内不一致连续．令zn=1–1/n，wn=1–1/(n+1)，n+．则zn,wn都在单位圆|z...