15.3等腰三角形典型例题解析题型一求线段或角度1、如图所示，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F。（1）求∠F的度数，（2）若CD=2，求DF的长。解：（1） △ABC是等边三角形，∴∠B=60°（2） ∠ACB=60°、∠EDC=60° DEABEDC∥∴△是等边三角形∴∠EDC=B=60°DE=CD∠∴ EFDECD=2⊥ ∴∠F=90°-EDCDE=2∠∴=90°-60°=30°EFDE,F=30° ⊥∠∴DE=½DF即DF=2DE=4题型二等腰（等边）三角形判定的应用2、如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别垂直AB，AC于E,F连接EF，求证△AEF是等腰三角形。证明： AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠CAD又 DE,DF分别垂直AB、AC于E、F∴∠AED=∠AFD=90°又 AD=AD∴△AED≌△AFD∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形题型三等腰（等边）三角形性质的应用3、如图所示D是△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于F。求证CE⊥CF证明： CA=CD,E是AD的中点∴∠ACE=∠DCE CF平分∠ACB∴∠ACF=∠BCF ∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°∴∠ACE+∠ACF=90°即∠ECF=90°∴CE⊥CF4、如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD,BE.求证：CD=BE题型四含30°的直角三角形性质的应用5、如图所示，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD,DC=2BD（1）求∠B的度数（2）求证∠CAD=∠ABD解：（1） ∠BAD=15°，∠ADC=4BAD∠∴∠ADC=60°B=60°-15°=45°∠（（2）证明：过C作CEAD⊥于E，连接EB． ∠ECD=90°-60°=30°∴DC=2ED， DC=2BD，∴ED=BD，∴∠DBE=DEB=ECD=30°∠∠，∴∠EBA=45°-30°=15°=BAD∠，∴AE=EC=EB，∴∠CAD=B=45°∠．题型五等腰三角形中的分类讨论6、等腰三角形的一个角为30°，求其他两角。解：当30°的角为顶角时，其余两角为75°；当30°的角为底角时，其余两角为30°；120°。7、已知等腰三角形一边的长为4，另一边的长为9，求它的周长。解：①当以4为腰长时，底边长为9， 4+4＜9，不能构成三角形所以此情况不存在。②当以4为底边长时，腰长为9，此时4+9＞9，能构成三角形，周长为4+9+9=22题型六实际应用题8、有一个三角形支架如图所示，AB=AC，小明过点A和BC边的中点D又架了一个细木条，经测量∠B=30°，你在不用任何测量工具的前提下，能得到∠BAD和∠ADC的度数吗？解： AB=AC，D是BC的中点∴∠B=∠C,∠BAD=∠CAD=∠BAC,AD⊥BC½又∠BAC=180°-2∠B=120°∴∠BAD=60°，∠ADC=90°题型七学科综合9、如图所示，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E，AE平分∠BAC，设∠B=x°，∠C=y°。（1）求y随x变化的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）请讨论△ABC为等腰三角形时，∠B的度数。解：（1） DE垂直平分AB，∴AE=BE∴∠BAE=∠B=x°又 AE平分∠BAC∴∠BAC=2∠BAE=2x°∴y=180-3x（0＜x＜180）（2）显然AC≠BC,若AB=AC，此时x=y，即180-3x=x，解得x=45；若AB=BC，则此时2x=y即180-3x=2x解得x=36∴当△ABC为等腰三角形时，∠B为45°或36°题型八与等腰三角形有关的开放型试题10、如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠ECO=∠DBO，②∠BDO=∠CEO,③BE=CD，④OB=OC。（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有的情况）；（2）选（1）中的一种情形，求证△ABC是等腰三角形。题型九等腰三角形有关的一题多解11、如图（1）所示，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE，求证ED=EC证法1证法2：过E作EF∥AC交BD延长线于F，如图（2）所示，则△BEF为等边三角形，以下同证法1（2）题型十与等腰三角形有关的动态题12、如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。（1）写出O到△ABC三个顶点A，B，C距离之间的关系；（2）如果点M,N分别在线段AB，AC上移动，移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状，并证明你的结论。（1）（2）解：(1) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，如图（1）所示，连接OA，则△AOB和△AOC都是等腰直角三角形，∴OA=BC=OB=OC，即OA=OA=OC;(2)△OMN是等腰直角三角形，理由： AC=AB,OB=...
