第二章圆锥曲线与方程人教A版选修2-1人教A版选修2-1学易同步精品课堂2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形范围对称性对称轴：，对称中心：顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝，虚轴长＝离心率性质渐近线y＝±baxy≤－a或y≥ax≥a或x≤－a坐标轴原点2a2by＝±abxe＝ca>1思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝2.对称中心实轴和虚轴等长[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．()(2)等轴双曲线的渐近线是y＝±x.()(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．()[答案](1)√(2)√(3)×2．双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是()A．(4,0)，(0,1)B．(－4,0)，(4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线x24－y2m＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±32x，则双曲线的焦点坐标是________.(－7，0)，(7，0)[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±m2x，∴m＝3，求得双曲线方程为x24－y23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．][合作探究·攻重难]根据双曲线方程研究几何性质例1、(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解](1)椭圆C1的离心率e1＝a2－b2a，双曲线C2的离心率e2＝a2＋b2a.由e1e2＝a2－b2a·a2＋b2a＝1－ba2·1＋ba2＝32，解得ba2＝12，所以ba＝22，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±22x，即x±2y＝0.[答案]A(2)把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程x2m－y2n＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝m，虚半轴长b＝n，c＝m＋n，焦点坐标为(m＋n，0)，(－m＋n，0)，离心率e＝ca＝m＋nm＝1＋nm.顶点坐标为(－m，0)，(m，0)．∴渐近线的方程为y＝±nmx＝±mnmx.[规律方法]由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．[跟踪训练]1．(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B．x24－y2＝1C．y24－x2＝1D．y2－x24＝1C[A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令y24－x2＝0，得y＝±2x；令y2－x24＝0，得y＝±12x.故选C．](2)若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±12xD．y＝±22xB[在双曲线中，离心率e＝ca＝1＋ba2＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±2x.]利用几何性质求双曲线方程例2、(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A．x24－y212＝1B．x212－y24＝1C．x23－y2＝1D．x2－y23＝1(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________________.[思路探究](1)△OAF是边长为2的等边三角形⇒求c和点A的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a，b(2)方法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解．方法：待定系数法求解．[解析](1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，3)，所以ba＝3，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2...
