基本初等函数的公式及导数的运算法则VIP专享VIP免费

基本初等函数的公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式;0',.1xfcxf则若;',.21*nnnxxfNnxxf则若;cos',sin.3xxfxxf则若;sin',cos.4xxfxxf则若;ln',.5aaxfaxfxx则若;e',e.6xxxfxf则若;ln1',log.7axxfxxfa则若;1',ln.8xxfxxf则若例1假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系p(t)=p0(1+5%)t,其中为t=0时的物价.假定某种商品的=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解:p(t)=1.05tln1.05,p(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.0P0P思考如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?当p0=5时,p(t)=5×1.05t求p关于t导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.如何求?导数运算法则;'''.1xgxfxgxf;'''.2xgxfxgxfxgxf0'''.32xgxgxgxfxgxfxgxf例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数y=x3-2x+3的导数.解:y=(x3-2x+3)＝(x3)－(2x)＋(3)＝3x2－2,所以，函数y=x3-2x+3的导数是y=3x2-2.堂上练习求下列函数的导数：140202124xxxy)3)(12(223xxxy例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为100801002845xxxc求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.(1)90%;(2)98%.'1005284'xxc2100'1005284100'5284xxx2100152841000xx21005284x,84.5290100528490'12c因为,132198100528498'22c因为所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.如何求函数y=ln(x+2)的导数呢?令u=x+2(x>-2),则y=lnu.y=ln(x+2)就由y=lnu和u=x+2(x>-2)复合得到.y与u的关系记作y=f(u),u与x的关系记作u=g(x)y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2).许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到对于两个函数y=f(u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x))且yx=yuuxy对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积y=(2x+3)2y=u2u=2x+3复合y=sin(2x+5)y=sinuu=2x+5复合例4求下列函数的导数:均为常数其中,sin3;e2;321105.02xyyxyx'''xuxuyy'32'2xuu4128x解:(1)函数y=(2x+3)2可以看作函数y=u2和u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有'''xuxuyy'105.0'xeuue05.0105.0e05.0x'''xuxuyy''sinxuucosxcos(2)函数y=e-0.05x+1可以看作函数y=eu和u=-0.05x+1的复合函数.根据复合函数求导法则有(3)函数y=sin(x+)可以看作函数y=sinu和u=x+的复合函数.根据复合函数求导法则有