第三课时导数在不等式中的应用VIP免费

栏目索引第三课时导数在不等式中的应用栏目索引考点突破直接将不等式问题转换为函数的最值问题考点突破例1：(2020·济南调研)已知函数f(x)＝1－lnxx，g(x)＝aeex＋1x－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直.(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.栏目索引因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1.(1)解因为f(x)＝1－lnxx，所以f′(x)＝lnx－1x2，f′(1)＝－1.因为g(x)＝aeex＋1x－bx，所以g′(x)＝－aeex－1x2－b.栏目索引则h(1)＝0，h′(x)＝－1－lnxx2＋eex＋1x2＋1＝lnxx2＋eex＋1.从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1.解得a＝b＝－1.(2)证明由(1)知，g(x)＝－eex＋1x＋x，则f(x)＋g(x)≥2x⇔1－lnxx－eex－1x＋x≥0.令h(x)＝1－lnxx－eex－1x＋x(x≥1)，所以h(x)≥h(1)＝0，即1－lnxx－eex－1x＋x≥0.所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，因为x≥1，所以h′(x)＝lnxx2＋eex＋1>0，故当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.栏目索引考点突破规律总结将不等式转化为函数最值的主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式.栏目索引1.(1)sin,(0,)(2)1,0(3)1ln,(0,)xxxxexxxxx练习：证明下列不等式栏目索引考点突破将不等式转化为两个函数利用函数的最值进行比较例2已知f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(2)证明:对一切x(0,+∈∞),都有lnx>-成立.1ex2ex栏目索引考点突破解析(1)由f(x)=xlnx,x>0,得f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,得x=.当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.①当0-(x(0,+∈∞)).由(1)可知f(x)=xlnx(x(0,+∈∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到.1e1e11,0,ee1ln,.ettttexx2e1e1e栏目索引考点突破设m(x)=-(x(0,+∈∞)),则m'(x)=,由m'(x)<0得x>1,m(x)为减函数,由m'(x)>0得0-成立.exx2e1exx1e1eexx2e1ex2ex栏目索引考点突破规律总结在证明的不等式中,若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题,可以借助两个函数的最值进行证明.栏目索引练习：已知函数f(x)＝xlnx－ax，G(x)＝xex＋1－2e2(x>0).(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)求函数G(x)的最大值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1>1ex＋1－2e2x成立.(1)解函数f(x)＝xlnx－ax的定义域为(0，＋∞).当a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x，f′(x)＝lnx＋2.由f′(x)＝0，得x＝1e2.当x∈0，1e2时，f′(x)<0；当x>1e2时，f′(x)>0.栏目索引显然当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f(x)没有最大值.所以f(x)在x＝1e2处取得极小值，也是最小值.∴当00；当x>1时，G′(x)<0.故f(x)min＝f1e2＝－1e2，(2)解易知G′(x)＝xe·ex－2e2′＝1－xex＋1.∴G(x)的最大值为G(1)＝－1e2.栏目索引(3)证明当x>0时，lnx＋1>1ex＋1－2e2x等价于x(lnx＋1)>xex＋1－2e2.由(1)知a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x的最小值是－1e2，当且仅当x＝1e2时取等号.又由(2)知G(x)max＝G(1)＝－1e2，因此f(x)>G(x)，故1＋lnx>1ex＋1－2e2x.栏目索引考点突破把参数看作常数利用分类讨论法解题例3(2019湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=lnx-ax,aR.∈(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)+a<0在x(1,+∈∞)上恒成立,求a的取值范围.栏目索引考点突破解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)只有单调递增区间(0,+∞).当a>0时,由f'(x)>0,得0,所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)f(x)+a<0在x(1,+∈∞)上恒成立,即ln...