空间向量的正交分解及其坐标表示VIP免费

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示aaaaaaa。＋＝，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理:复习：共面向量定理:0//aabbabb对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使＝。aaaaaaaaaaaaaa有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。＋＝，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiyj(1,0),(0,1),0(0,0).ijaaaaaaa问题：p�我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,abxyzOijkQPp�.OPOQzk�.OQxiyj�.OPOQzkxiyjzk�由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。,,ijkp�.pxiyjzk�,,xiyjzk,,ijkp�探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？,,abc,,ijk任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,,abcp�.pxaybzc�都叫做基向量,,abcaaaaaaaaaaaaaa（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：（2）由于与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。(即：零向量不能作为基向量）00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。•例：已知a、b、c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是•()•A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2a•C．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c•解析：因为a，b，c不共面，易知a,2b，b－c不共面．故应选C.•答案：C1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．向量a+b，a-b，c能否构成空间的一个基底．练习aaaaaaa一、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。aaaaaaa给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)二、空间向量的直角坐标系pxyzOe1e2e3paaaaaaa练习：1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为.2、点M（2，-3，-4）关于原点的对称点为，关于轴的对称点分别为，22132eeeAB321eee、、ABaaaaaaaaaaaaaa例题已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ练习aaaaaaa图5[例3]如图5所示，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，且PA＝AD，建立适当的空间直角坐标系求向量MN→的坐标．练习：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝1，CC1＝2，M为A1B1的中点．以C为...