第二章数列2.1数列的概念与简单表示法新课导入——实例引领思维激活实例:(1)高二·五班共有48名同学,每位同学都有自己的一个学号,这些学号依次为:1,2,3,…,48.(2)人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出这颗彗星每隔83年出现一次,那么从发现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为:1740,1823,1906,1989,2072,….(3)“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下的部分依次为:12,14,18,116,132,….(4)圆周率π是一个无理数,它精确到1,0.1,0.01,0.001,…时的不足近似值依次为:3,3.1,3.14,3.141,….想一想观察实例,它们都涉及了一些数,这些数的呈现有什么特点?(按照一定的顺序排列)知识探究——自主梳理思考辨析1.数列的概念按照排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.2.数列的分类(1)按项的个数分类一定顺序类别含义有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列有限无限项(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起,每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都它的前一项的数列常数列各项的数列摆动数列从第2项起,有些项它的前一项,有些项小于它的前一项的数列大于小于相等大于3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.思考1:(1)数列1,2,3,4和数列4,3,2,1是相同数列吗?(2)数列1,2,3,4和数列1,2,3,4,…是相同数列吗?提示:(1)不是,数相同而顺序不同时不是同一个数列.(2)不是,前者是有穷数列,后者是无穷数列.思考2:{an}与an表示的含义相同吗?提示:{an}与an表示不同的含义,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.序号n题型探究——典例剖析举一反三题型一数列的分类【例1】已知下列数列:(1)2014,2016,2018,2020,2022;(2)0,12,23,…,1nn,…;(3)1,12,14,…,112n,…;(4)1,-23,35,…,1(1)21nnn,…;(5)1,0,-1,…,sinπ2n,…;(6)9,9,9,9,9,9.其中,有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,递减数列是,常数列是,摆动数列是.解析:分析可知:(1)是有穷递增数列;(2)是无穷递增数列(因为1nn=1-1n);(3)是无穷递减数列;(4)是摆动数列,是无穷数列;(5)是摆动数列,是无穷数列;(6)是常数列,是有穷数列.答案:(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)题后反思(1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时主要分析它的项数是有限的,还是无限的.(2)判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的大小关系.跟踪训练1-1:下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数列?(1)1,12,13,…,1n,…;(2)1,3-1,3-2,…,3-63;(3)1,-0.1,0.12,…,(-0.1)n-1,…;(4)10,20,40,…,1280;(5)-1,2,-1,2,…;(6)6,6,6,….解:(2)、(4)是有穷数列,(1)、(3)、(5)、(6)是无穷数列,(4)是递增数列,(1)(2)是递减数列,(3)(5)是摆动数列,(6)是常数列.题型二根据数列的前几项写出数列的通项公式【例2】写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列各数:(1)-2,-4,-6,-8,…(2)0,3,8,15,…(3)1,23,35,47,…(4)9,99,999,9999,…(5)2,-2,2,-2,…解:(1)每一项都是负数,且每一项的绝对值恰好是项数的两倍,因此它的一个通项公式是an=-2n.(2)将数列变形为1-1,4-1,9-1,16-1,…,亦即12-1,22-1,32-1,42-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1.(3)将数列统一为11,23,35,47,…,分母恰好是正奇数数列,分子恰好是正整数数列,因此它的一个通项公式为an=21nn.(4)将数列变形为10-1,102-1,103-1,104-1,…,因此它的一个通项公式是an=10n-1.(5)这是一个摆动数列,符号可由(-1)n+1来调节,每一项的绝对值都等于2,故它的一个通项公式为an=(-1)n+1·2.题后反思根据数列的前几项写通项公式的方法.(1)统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式.(3)对于符号交替出现的情况,可观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1(n∈N*)调节符号...
