§3.2.1立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系第三章空间向量与立体几何引入课题上一节,我们把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节我们进一步学习立体几何中的向量方法.立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题,首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.知识点一：点的位置向量如何确定一个点在空间的位置?在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.把向量称为点P的位置向量.OP知识点二：直线的方向向量在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.ABP这样,点A和向量,不仅可以确定直线l的位置,还可以具体表示出l上的任意一点.⃗𝑎⃗𝐴𝑃=𝑡⃗𝐴𝐵⃗𝑎知识点三：平面位置的确定给一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定αO⃗b⃗aP这样,点O与向量,不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出α内的任意一点.知识点四：平面的法向量给一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?给定一点A和一个向量,过点A,与向量垂直的平面是确定的.α⃗aA法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量.知识点五：法向量的理解及求法一个平面有多少个法向量？它们是什么关系？如何求平面的一个法向量？α⃗b⃗c⃗d⃗e(1)设出平面的法向量=(x,y,z)(2)取平面内两个不共线的向量=(a1,b1,c1)，=(a2,b2,c2)(3)由·=0，·=0建立关于x、y、z的方程组(4)取方程组的一组解即得两个方程三个未知数非零向量⃗a⃗b⃗n知识点六：向量与平行(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为＝(a1，b1，c1)，＝(a2，b2，c2)，则l∥m__________⇔∥⇔⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λR)∈．(2)线面平行设直线l的方向向量为＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为＝(a2，b2，c2)，＝λl∥α⇔________⊥⇔⇔_________________．(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为＝(a1，b1，c1)，＝(a2，b2，c2)，则α∥β________⇔∥⇔⇔__________________________(λR)∈．·＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0＝λa1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2[思考辨析判断正误](1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.()(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.()(3)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.()(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.()(5)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.()√√××√典例分析【解析】例1(1)设，分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①＝(4，6，－2)，＝(－2，－3，1)；②＝(5，0，2)，＝(0，1，0)；(1)① ＝(4，6，－2)，＝(－2，－3，1)，∴＝－2，∴∥，∴l1∥l2.② ＝(5，0，2)，＝(0，1，0)，∴·＝0，∴⊥，∴l1⊥l2.典例分析(2)设，分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系；①＝(－1，1，－2)，＝(3，2，－)；②＝(3，0，0)，＝(－2，0，0)；【解析】(2)① ＝(－1，1，－2)，＝(3，2，－)，∴·＝－3＋2＋1＝0，∴⊥，∴α⊥β.② ＝(3，0，0)，＝(－2，0，0)，∴＝－，∴∥，∴α∥β.典例分析(3)设是平面α的法向量，是直线l的方向向量，根据下列条件判断平面α与l的位置关系；①＝(2，2，－1)，＝(－6，8，4)；②＝(2，－3，0)，＝(8，－12，0)．【解析】(3)① ＝(2，2，－1)，＝(－6，8，4)，∴·＝－12－4＋16＝0，∴⊥，∴l⊂α或l∥α.② ＝(2，－3，0)，＝(8，－12，0)．∴＝，∴∥，∴l⊥α.跟踪训练根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系．(1)直线l1、l2的方向向量分别是＝(1，－3，－1)，＝(8，2，2)；(2)平面α、β的法向量分别是＝(1...
