1、已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点P,且左焦点为F1(-1,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若PA,PB,PC为椭圆E的三条弦,PA,PB所在的直线分别与x轴交于点M,N,且|PM|=|PN|,PC∥AB,求直线PC的方程.解(1)依题意,得又∵a>b>0,∴a=2,b=,∴椭圆E的方程为+=1.(2)由题意知直线PA的斜率存在,设PA:y=k(x-1)+,A(xA,yA),B(xB,yB).由得(3+4k2)x2+4k(-2k+3)x+4k2-12k-3=0,当Δ>0时,∴xP·xA=1×xA=,∴xA=,yA=k(xA-1)+=+,又∵|PM|=|PN|,∴直线PB的斜率为-k.用-k代替k,得xB=,yB=+,kAB===.又∵PC∥AB,∴直线PC的方程为y-=(x-1),即x-2y+2=0.2、已知椭圆C:+=1的左焦点为F,已知M(-4,0),过M作斜率不为0的直线l,与椭圆C交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B′.(1)求证:直线AB′恒过定点F(椭圆的左焦点);(2)△MAB′的面积记为S,求S的取值范围.(1)证明设直线l的方程为x=my-4,代入+=1中,得(3m2+4)y2-24my+36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则B′(x2,-y2),则Δ=144m2-576>0,即|m|>2,且y1+y2=,y1y2=.直线AB′:y-y1=(x-x1).令y=0,得x==2m-4=2m×-4=-1,∴直线AB′过定点F(-1,0).(2)解S=|MF||y1+y2|=×=,其中|m|>2.令f(t)=3t+,t>2,则f′(t)=3->0(t>2),∴f(t)在(2,+∞)上单调递增,f(t)∈(8,+∞),∴S∈.3、已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2.(1)求椭圆的方程;(2)如图,斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交于A,B两点,以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为,求直线l的方程.解(1)由椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,得c=a,b=a,由S=·2c·b=a2=2,得a=,b=,所以椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知,焦点F坐标为(2,0),设直线lAB:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0).联立方程得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,x1+x2=,x1x2=,所以x0==,|AB|=·|x1-x2|=·=.点M到直线x=1的距离为d=|x0-1|==.由以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为得,2-d2=2,所以2-2=2,解得k=±1,所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.4、如图,已知椭圆+=1(a>0,b>0)的长轴长为4,焦距为2,以A为圆心的圆(x-2)2+y2=r2(r>0)与椭圆相交于B,C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求AB·AC的取值范围;(3)设P是椭圆C上异于B,C的任一点,直线PB,PC与x轴分别交于点M,N,求S△POM·S△PON的最大值.解(1)由题意知a=2,c=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设B(x0,y0),则C(x0,-y0),且+y=1,又A(2,0),所以AB·AC=(x0-2)2-y=(x0-2)2-=x-4x0+3=2-,因为-21),过直线l:x=2上一点P作椭圆的切线,切点为A,当点P在x轴上时,切线PA的斜率为±.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,求△POA面积的最小值.解(1)当点P在x轴上时,P(2,0),直线PA的方程为y=±(x-2).联立消去y,得x2-2x+1=0,由Δ=0,得a2=2,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由题意知,切线斜率必存在,设切线为y=kx+m,P(2,y0),A(x1,y1),则由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由Δ=0,得m2=2k2+1,且x1=,y1=,y0=2k+m,则|PO|=,直线PO的方程为y=x,所以点A到直线PO距离d=,则S△POA=|PO|·d=|y0x1-2y1|===|k+m|.当m=时,S=|k+|.由(S-k)2=1+2k2,得k2+2Sk-S2+1=0,由Δ=8S2-4≥0,解得S≥,当S=时,k=-.同理当m=-时,可得S≥,当S=时,k=,所以△POA面积的最小值为.