空间向量与空间角 (2)VIP免费

3.2.3空间向量与空间角复习用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）范围：0,2ABCD1D||一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？结论：ba，coscos直线与平面所成角的范围：[0,]2二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？AAOOBBBAn,cossin结论：结论：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB:[0,]范围三、面面角：问题：求直线和平面所成的角，可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？anl1n�2n�21,nn121212coscos,nnnnnn���21,nn121212coscos,nnnnnn���同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角关键：确定二面角的范围l1n2nl1n2n21,nn121212coscos,nnnnnn���21,nn121212coscos,nnnnnn���21,coscosnn结论：空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角θ设l1与l2的方向向量为a，b，则cosθ＝＝0，π2|a·b||a||b||cos|直线l与平面α所成的角θ设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝＝0，π2二面角αlβ的平面角θ设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝＝[0，π]|n1·n2||n1|·|n2||cos||a·n||a||n||cos|1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－32，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．150°D．120°2．正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A．23B．33C．23D．633．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．4.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．15B．25C．35D．45例1、如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．[跟踪训练]1．已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A．13B．23C．33D．23例2、如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.[跟踪训练]2.如图3222，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.(1)求证：PD⊥平面PAB．(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．例3、如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值.