6.2等差数列及其前n项和第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养必备知识-2-知识梳理考点自诊1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为(n∈N*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an=am+(n-m)d.第2项差同一个常数公差an+1-an=d(4)等差数列的前n项和公式:Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=na1+𝑛(𝑛-1)2d.A=𝑎+𝑏2等差中项a1+(n-1)d第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养必备知识-3-知识梳理考点自诊2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.(2)数列{an}是等差数列,且公差不为0⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养必备知识-4-知识梳理考点自诊1.已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.(1)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈N*).(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N*).(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;𝑆奇𝑆偶=𝑎𝑛𝑎𝑛+1.(6)若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an;S奇-S偶=an;𝑆奇𝑆偶=𝑛𝑛-1.第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养必备知识-5-知识梳理考点自诊2.若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别是Sn和Tn,则𝑆2𝑚-1𝑇2𝑚-1=𝑎𝑚𝑏𝑚.第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养必备知识-6-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.()(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()×√×√√×第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养必备知识-7-知识梳理考点自诊2.(2019四川乐山期末,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=18-a8,则S10=()A.81B.90C.99D.180B解析:根据题意,由a3=18-a8,得a3+a8=18,则S10=(𝑎1+𝑎10)×102=(𝑎3+𝑎8)×102=90.3.设Sn为等差数列{an}的前n项和,且2+a5=a6+a3,则S7=()A.28B.14C.7D.2B解析:因为2+a5=a6+a3=a5+a4,所以a4=2,S7=7×𝑎1+𝑎72=7a4=14,故选B.第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养必备知识-8-知识梳理考点自诊4.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=.𝑆10𝑆54解析:设等差数列{an}的公差为d. a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.∴𝑆10𝑆5=10𝑎1+10×92𝑑5𝑎1+5×42𝑑=100𝑎125𝑎1=4.5.(2019北京,10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.0-10解析:等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养关键能力-9-考点1考点2考点3考点4等差数列中基本量的求解例1(1)(2019全国1,理9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.612AC第六章6.2等差数列及其前n项和必备知识关键能力核心素养关键能力-10-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意可知,ቊ𝑆4=4𝑎1+4×32𝑑=0,𝑎5=𝑎1+4𝑑=5,解得൜𝑎1=-3,𝑑=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.(2)(方法一)由已知得,...
