24.3一元二次方程根与系数的关系基础巩固JICHUGONGGU1．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为()A．－1B．9C．23D．272．(开放题)请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．3．已知方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，求m的值及该方程的另一个根．4．设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值．(1)x·x2＋x1·x；(2)|x1－x2|.5．关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，若x＋x＝11，求实数k的值．能力提升NENGLITISHENG6．已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是()A．7B．－7C．11D．－117．设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立，请说明理由．8．已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，(1)求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．1参考答案1．D点拨：∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，∴α＋β＝5，αβ＝－2.又∵α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ，∴α2＋αβ＋β2＝52＋2＝27.故选D.2．x2＋3x－10＝0(答案不唯一)点拨：设这个方程是x2＋bx＋c＝0，根据一元二次方程根与系数的关系，可得b＝－(2－5)＝3，c＝－10；则这个方程是x2＋3x－10＝0.3．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝3代入原方程即可求得m及另一根的值．解：∵方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，∴9＋3(m－1)＋m－10＝0，即4m－4＝0，解得m＝1.由方程x2－9＝0，解得x＝±3，故所求方程的另一根为－3.4．解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，(1)x·x2＋x1·x＝x1·x2(x1＋x2)＝－×(－2)＝3.(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×＝4＋6＝10.故|x1－x2|＝.5．分析：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键要掌握x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根时，x1＋x2＝－p，x1x2＝q，本题容易忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件而导致错误．解：∵方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，∴Δ＝[－(k＋2)]2－4(2k＋1)≥0，解得k≥4或k≤0.由根与系数的关系得x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k＋1，∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝11，∴(k＋2)2－2(2k＋1)＝11.2∴k2－9＝0，解得k＝±3.∵k≥4或k≤0，∴k＝3舍去．故k＝－3.6．A点拨：根据题意得a与b为方程x2－6x＋4＝0的两根，则a＋b＝6，ab＝4.故原式＝＝＝7.7．解：∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.又3x1·x2－x1＞x2，∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.而x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.∴＜k≤3，∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立．8．(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2，∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，且a＜b＜c，∴Δ＝8b2－4a2＋4c2＞0.∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根．(2)解：∵x1＋x2＝，x1·x2＝，又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，∴x＋x＝－4.3
