湖北省宜昌第一中学高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案无答案VIP免费

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（学案）一、温故知新在物理学上，一个物体受到的力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功，其一般关系是什么？在数学上又是怎样理解呢？二、知识互动知识点一向量的数量积1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把叫做a与b的数量积（或内积），记作，即=．2.叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．3.ab的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积，或b的长度b与a在b方向上投影的乘积．【疑难点拨】（1）两个向量的数量积是一个实数，并且规定00b．（2）当为锐角时，0ab；当为钝角时，0ab；当90时，0ab．（3）向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一个向量在其上的投影值，投影是个数量，不是向量，当为直角的时候是零，当为钝角的时候是负值．知识点二数量积的性质若a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则1.eaae．2.ab；3.若b与a同向，则ab=；若b与a反向，则ab=；特别地：aa=或a=．4.cos=．5.对任意两个向量a，b，有abab，当且仅当时等号成立．【疑难点拨】（1）利用性质（2）可以解决有关两非零向量垂直的问题；由ab，则0ab；反之，由0ab，则ab．（2）利用2aaa或aaa可进行向量的数量积运算及向量与实数的转换．知识点三数量积的性质1.ab(交换律)．2.()ab=．3.()abc．【想一想】向量数量积的运算律与多项式的运算律有何不同？三、典例探究例1已知5,4,aba与b的夹角120，求ab．例2我们知道，对任意的实数,abR，恒有222()2,abaabb22()()ababab．对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？1（1）222(a+b)=a+2ab+b，(2)22(a+b)(a-b)=a+b.例3已知6,4,aba与b的夹角60，求()()a+2ba-3b．例4.已知3,4,aba与b不共线.k为何值，向量kab与kab互相垂直？四、当堂检测1.已知向量a与b满足1,4,ab且ab2，则a与b的夹角为（）A.6B.4C.3D.22．四边形ABCD中，0,,ABBCBCAD�则四边形ABCD是（）A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形3．设a、b、c是单位向量，且ab0，则()()a-cb-c的最小值（）A.2B.22C.1D.124．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足()0ba-b，则b的取值范围是．2