一九八八年数学一试题一、（本题满分15分，每小题5分）（1）求幂级数∑n=1∞(x−3)nn⋅3n的收敛域.（2）已知f(x)=ex2,f[ϕ(x)]=1−x且ϕ(x)≥0，求ϕ(x)，并写出它的定义域.（3）设S为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分I=∯Sx3dydz+y3dzdx+z3dxdy.二、填空题（本题满分12分，每小题3分）（1）若f(t)=limx→∞t(1+1x)2tx，则f'(t)=.（2）设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间（-1，1）上的定义为f(x)=¿{2,−1≺x≤0,¿¿¿¿则f(x)的付立叶（Fourier）级数在x=1处收敛于.（3）设f(x)是连续函数，且∫0x3−1f(t)dt=x，则f(7)=.（4）设4×4矩阵A=（α，γ2，γ3，γ4），B=（β，γ2，γ3，γ4），其中α，β，γ2，γ3，γ4均为4列维向量，且已知行列式│A│=4，│B│=1，则行列式│A+B│=.三、选择题（本题满分15分，每小题3分）（1）若函数y=f(x)有f'(x0)=12，则当Δx→0时，该函数在x=x0处的微分dy是（A）与Δx等价的无穷小.（B）与Δx同阶的无穷小.（C）比Δx低阶的无穷小.（D）比Δx高阶的无穷小.答：（）（2）设y=f(x)是方程y''−2y'+4y=0的一个解，若f(x0)＞0，且f'(x0)=0，则函数f(x)在点x0(A)取得极大值.(B)取得极小值(C)某个领域内单调增加(D)某个领域内单调减少答：（）（3）设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0,y≥0,z≥0，则（A）∭Ω1xdv=4∭Ω2xdv.（B）∭Ω1ydv=4∭Ω2ydv.（C）∭Ω1zdv=4∭Ω2zdv.（D）∭Ω1xyzdv=4∭Ω2xyzdv.（4）若∑n=1∞an(x−1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定答：（）（5）n维向量组α1，α2，…αs(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是（A）存在一组不全为0的数k1,k2,…,ks,使α1k1+α2k2+…+αsks≠0.（B）α1，α2，…αs中任意两个向量都线性无关.（C）α1，α2，…αs中存在一个向量，它不能用其作向量线性表出.（D）α1，α2，…αs中任意一个向量都不能用其作向量线性表出.答：（）四、（本题满分6分）设u=yf(xy)+xg(yx).其中函数f,g具有二阶连续导数，求x⋅∂2u∂x2+y⋅∂2u∂x∂y.五、（本题满分8分）设函数y=y(x)满足微分方程y''−3y'+2y=2ex，且其图形在点（0，1）处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x).六、（本题满分9分）设位于点（0，1）的质点A对质点M的引力大小为kr2（k＞0为常数，r为质点A与M之间的距离），质点M沿曲线y=√2x−x2自B（2，0）运动到O（0，0），求在此运动过程中质点A地质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知AP=PB，其中B=[10000000−1]，P=[1220−11001]，求A及A5.八、（本题满分8分）已知矩阵A=[20000101x]与B=[2000y000−1]相似，（1）求x与y；（2）求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在（a,b）内有f'(x)≻0.证明：在(a,b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=a所围平面图形S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题（本题满分6分，每小题2分）（1）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于1927，则事件A在一次试验中出现的概率为.（2）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于65”的概率为.（3）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知Φ(x)=∫−∞x1√2πe−u22du，Φ（2.5）=0.9938，则X落在区间（9.95,10.05）内的概率为.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为fx(x)=1π(1+x2)，求随机变量Y=1-3√X的概率密度函数fY(y).一九八八年试卷二一、（同试卷一第一题）二、（同试卷一第二题）三、（同试卷一第三题）四、（本题满分18分，每小题6分）（1）（同试卷一第四题）（2）计算∫12dx∫√xxsinπx2ydy+∫24dx∫√x2sinπx2ydy.（3）求椭球面x2+2y2+3z2=21上某点M处的切平面π的方程，使平面π过已知直线L:x−62=y−31=2x−1−2.五、（同试卷一第五题）六、（同试卷一第六题）七、（同试卷一第七题）八、（同试卷一第八题）九、（同试卷一第九题）一九八八年试卷四一、（本题满分12分）在下列各题中将答案填入横线上方空...
