高一数学线段的定比分点【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）下列各式正确的是（）A．a＝（2，4），b＝（2，5），则a＋b＝（4，1）B．a＝（4，2），b＝（2，5），则a－b＝（2，3）C．a＝（1，0），b＝（0，1），则a－b＝（1，1）D．a＝（1，1），b＝（1，2），则3a＋4b＝（7，11）（2）若A（3，5），B（6，9），则的坐标为（）A．（9，14）B．（3，4）C．（－3，－4）D．（9，－4）2．先看书，再来做一做．（1）若点B分有向线段的比为2∶1，则点C分的比为_____．（2）已知P1（－1，－6）与P2（3，0），点P（5，y）为的定比分点，则y＝_____．【学习目标】（1）理解点P分有向线段所成的比λ的含义．（2）掌握有向线段的定比分点坐标公式和线段的中点坐标公式，并能应用这两个公式进行解题．【基础知识精讲】本节课的主要内容是线段的定比分点的概念、线段的定比分点坐标公式和线段的中点坐标公式及应用．重点是两个公式及其应用．难点是用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜0，即对定比λ含义的理解．1．线段的定比分点的概念l为有向线段所在的直线，P为l上不同于P2的任一点，则≠0，且与共线．于是由共线向量的充要条件，存在实数λ，使＝λ，称λ为点P分有向线段的比，而点P称为分有向线段为定比λ的点，简称为有向线段的定比分点．应当指出的是，称为有向线段，这里特指在直角坐标系中，两点P1与P2连成的有向线段，P点就是P1P2所在直线上的点．2．线段的定比分点公式和中点坐标公式用心爱心专心115号编辑已知点P1、P2的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），且＝λ，求点P的坐标．这是公式的意义．公式推导的过程是：由＝λ得，＝λ（）（O为原点）．于是（1＋λ）＝，因此，这就是定比分点公式的向量形式．为了得到公式的坐标形式，我们把向量的坐标代入：设P（x，y），则＝（x1，y1），＝（x2，y2），＝（x，y）于是有这就是线段的定比分点公式．当λ＝1时，就得到中点坐标公式．推导过程中之所以把变为，是因为的坐标与点P的坐标是相同的，这样就把向量与点的坐标联系起来了．3．本小节安排了两个例题．这两个例题都是直接应用线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式进行应用解题．例1讲解如何应用线段的定比分点坐标公式列式求解未知量．例2实际上给出了三角形的重心定理，即：在△ABC中，若已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则重心G（x，y）的坐标为，在对该定理的推导过程中应用了中点坐标公式和同一法解题思想．关于定比λ，必须特别注意下面的问题：如何理解＝λ中的定比λ?关于＝λ中λ的含义，有下面几点必须明确：（1）是直线l的有向线段，P1是起点，P2是终点．（2）点P是l上不同于P1、P2的任意一点．由此可知λ≠0．λ只有正、负两种情况．①当P在线段P1P2上时，称P为内分点．这时与的方向相同，λ＝＞0，且P点越靠近P2，λ的值越大，P点越靠近P1，λ的值越接近0．当P在线段P1P2上变动时，λ的取用心爱心专心115号编辑值范围为（0，＋∞）．图5－5－1②当P在线段P1P2的延长线上时，与的方向相反，λ＝－，由于||＞||，∴＞1，∴λ＜－1，且P点离P2越接近，λ的值越小，P点离P2越远，λ的值越大，越接近于－1．当点P在线段P1P2的延长线上变动时，λ的取值范围是（－∞，－1）．图5－5－2③当P在线段P1P2的反向延长线上时，与的方向相反，λ＝－，由于||＜||，∴0＜＜1，图5－5－3∴－1＜λ＜0，且P点离P1越近，λ的值越大，越接近于0，P点离P1越远，λ的值越小，越接近于－1．当点P在线段P1P2的反向延长线上变动时，λ的取值范围为（－1，0）．当点P在线段的延长线或反向延长线上时，我们称点P为外分点．（3）λ事实上是有向线段的数量之比．分子是由线段的起点P1到分点P的有向线段的数量，分母是分点P到终点P2的有向线段的数量．从理论上说，通常不研究“向量之比”．只有在共线向量间存在一个实数，使a＝λb，写成＝λ是不适宜的．因此我们一般不把λ写成λ＝（即不能看成向量之比，但看成有向线段的数量比是可以的）．（4）点P分所成比与点P分所成比是不相同的．若设前者为λ，则后者为，用心爱心专心115号编辑两者互为倒数．【...
