【创新教程】2016年高考数学大一轮复习第七章第6节空间直角坐标系及空间向量课时冲关理新人教A版一、选择题1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2解析：由题意知：解得或答案：A2．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案：B3．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D．(1,1,2)解析：设PD＝a，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，∴DP＝(0,0，a)，AE＝， cos〈DP，AE〉＝，∴＝a·，∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．答案：A4．(2015·武汉模拟)二面角αlβ为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A．2aB.aC．aD.a解析： AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC，BD〉＝60°，且AC·BA＝0，AB·BD＝0，∴CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|＝＝＝2a.答案：A5．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.a1C.aD.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)． 点M在AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.∴M，∴|MN|＝＝a.答案：A6．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()A．0B.C.D.解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|cos60°－|a||b|cos60°＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案：A二、填空题7．(2015·台州模拟)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6，a·b＝30，则＝________.解析：设向量a与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，由已知及向量数量积的定义得：a·b＝|a|·|b|cosθ＝5×6×cosθ＝30，所以cosθ＝1，所以θ＝0，所以a∥b.又因为a与b均为非零向量，且|a|＝5，|b|＝6，所以可得b＝a，即(b1，b2，b3)＝(a1，a2，a3)，从而有：＝＝＝.得：＝.答案：8．如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．解析：AD＝AB＋BC＋CD，所以AD2＝AB2＋BC2＋CD2＋2AB·CD＋2AB·BC＋2BC·CD＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ，所以|AD|＝，即AD的长为.答案：29．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值.答案：三、解答题10．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．解：(1) a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.(2)方法一 ka＋b＝(k－1，k,2)．ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.方法二由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－.11．(2014·汕头模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．所以BD1＝BE＋BF.故BD1，BE，BF共面．又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面．(2)设M(0,0，z0)，G，则GM＝，而BF...
