第2讲等差数列基础巩固1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,a3=3,则S4等于()A.12B.10C.8D.6【答案】C【解析】由已知得d=2,从而可得a1=-1,a4=5.故S4=8.2.已知等差数列{an}中,a2+a8=16,a4=1,则a6的值为()A.15B.17C.36D.64【答案】A【解析】根据a2+a8=16可得2a5=16,即a5=8,又a4=1,因此a6=2a5-a4=2×8-1=15.3.若等差数列{an}的前n项和满足S20=S40,则下列结论中正确的是()A.S30是Sn中的最大值B.S30是Sn中的最小值C.S30=0D.S60=0【答案】D【解析】方法一:由S20=S40,得a1=-d,故S60=60a1+d=60×d=0.方法二:由S20=S40,得a21+a22+…+a40=0,从而可知a30+a31=0.故S60==30(a30+a31)=0.4.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若为等差数列,则a11=()A.0B.C.D.2【答案】B【解析】由已知可得是等差数列的第3项和第7项,其公差d=,由此可得+(11-7)d=+4×,解之,得a11=.5.已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为()A.11B.19C.20D.21【答案】B【解析】∵<-1,且Sn有最大值,∴a10>0,a11<0,且a10+a11<0.于是S19==19a10>0,S20==10(a10+a11)<0.故使得Sn>0的n的最大值为19,应选B.6.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上,则a2013为()A.2010B.2011C.2012D.2013【答案】D【解析】∵由已知得an+1=an+1,即an+1-an=1,又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n,则a2013=2013.7.若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是()1A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列【答案】C【解析】方法一:设数列{an}的公差为d,则由题意知,d=1.设cn=a2n-1+2a2n,则由上式得cn+1=a2n+1+2a2n+2,cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6.方法二:利用特殊数列.令an=n,则cn=a2n-1+2a2n=2n-1+2×2n=6n-1.故cn-cn-1=6.8.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项的和S10=.【答案】100【解析】根据可得于是a10=a1+9d=1+9×2=19.故S10==100.9.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列{an}的前9项和S9=.【答案】27【解析】∵点(n,an)在定直线l上,∴数列{an}为等差数列.故an=a1+(n-1)·d.将(5,3)代入,得3=a1+4d=a5.故S9=(a1+a9)=9a5=3×9=27.10.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为.【答案】4或5【解析】由题意得解之可得a1=4,d=-1.于是Sn=×n=-.故当n=4或n=5时,Sn最大.11.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记其前n项和为Sn.(1)设Sk=2550,求a和k的值;(2)设bn=,求b3+b7+b11+…+b4n-1的值.【解】(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a,∵a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即a=3.故a1=2,公差d=a2-a1=2.由Sk=ka1+d,得2k+×2=2550,即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去).故a=3,k=50.(2)由Sn=na1+d得Sn=2n+×2=n2+n.因此bn==n+1,即{bn}是等差数列,则b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)=.故b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.12.已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=+n-4.(1)求证:{an}为等差数列;(2)求{an}的通项公式.【解】(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2Sn-1=+n-5,又2Sn=+n-4,两式相减得2an=+1,即-2an+1=,也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.2若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,于是可得a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,因此an-1=an-1,即an-an-1=1.故{an}为等差数列.(2)因为由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)=n+2,即an=n+2.13.设等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,其前n项和为Sn,(1)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;(2)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.解:(1)由S14=98,得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,解之可得d=-2,a1=20.因此数列{an}的通项公式是an=22-2n.(2)由即由①+②得-7d<11,即d>-.由①+③得13d≤-1,即d≤-.于是-
21时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a21|+|a22|+…+|an|=-a1-a2-…-a21+a22+a23+…+an=Sn-2(a1+a2+…+a21)=(n2-41n)-2=(n2-41n)+1260.故Tn=3
