高考专题训练十一三角变换与解三角形、平面向量班级_______姓名_______时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0解析：只要AC，AB共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC＝λAB，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.答案：D2．(2011·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.－1B．1C.D．2解析：a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，即a·b－(a·c＋b·c)＋c2≤0∴a·c＋b·c≥1.又|a＋b－c|＝＝＝≤1.答案：B3．(2011·全国)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A．2B.C.D．1解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c(ⅰ)若OC在∠AOB内，如图因为a·b＝－，所以∠AOB＝120°，又〈a－c，b－c〉＝60°，则O，A，C，B四点共圆．|AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos120°＝3，∴|AB|＝.2R＝＝＝2，∴|OC|≤2，即|c|≤2.1(ⅱ)若OC在∠AOB外，如图由(ⅰ)知∠AOB＝120°，又∠ACB＝60°，|OA|＝|OB|＝1，知点C在以O为圆心的圆上，知|c|＝|OC|＝1.综合(ⅰ)，(ⅱ)|c|最大值为2.答案：A4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA＝a，OB＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若OC＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()解析：由题意知OC＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.答案：A5．(2011·天津)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为()2A.B.C.D.解析：如题图所示在△BCD中，∵BC＝2BD，∴＝.在△ABD中，∵AB＝AD,2AB＝BD，∴cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∵∠ADB＝π－∠BDC，∴sin∠ADB＝sin∠BDC，∴sinC＝×＝.答案：D6．(2011·河南省重点中学第二次联考)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为()A.B.C．1D.解析：由sin2A＋cos2B＝1，得cos2B＝cos2A.又A、B为△ABC的内角，所以A＝B，则C＝π－2A.cosA＋cosB＋cosC＝2cosA＋cos(π－2A)＝2cosA－cos2A＝－2cos2A＋2cosA＋1＝－22＋，可知当cosA＝时，cosA＋cosB＋cosC取得最大值.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·江苏)已知tan＝2，则的值为________．解析：tan＝＝2，∴tanx＝，tan2x＝＝，则＝＝.答案：8．(2011·上海)函数y＝sincos的最大值为________．解析：y＝cosx·＝cos2x＋sinx·cosx＝·＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋＝sin＋.故ymax＝＋.答案：＋9．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．解析：(a＋2b)·(a－b)＝－23∴a2＋a·b－2b2＝－2∵|a|＝2，|b|＝2，∴4＋a·b－8＝－2，∴a·b＝2∴cosθ＝＝＝，0≤θ≤π，∴θ＝.答案：10．(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝________.解析：∵BC＝2BD，∴D为BC中点．∵CA＝3CE，∴E为AC边上距C近的一个三等分点．∴AD＝(AB＋AC)，BE＝AE－AB＝AC－AB.又|AB|＝|AC|＝1，AB与AC夹角为60°，∴AD·BE＝(AB＋AC)·＝＝＝＝－.答案：－三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)f＝2sin＝2sin＝2sin＝.(2)∵f＝2sin＝2sinα＝，∴sinα＝，又α∈，∴cosα＝，∵f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝，又β∈，∴sinβ＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.12．(13分)(2011·湖北)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，cosC＝.(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．解：(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4.∴c＝2∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.(2)∵cosC＝，∴sinC＝＝＝.∴sinA＝＝＝.∵a
