高考专题训练七空间向量与立体几何班级_______姓名________时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为()A.B.C.D.解析：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建系，设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，M，D1(0,0,1)，N，∴CM＝，D1N＝，∴cos〈CM，D1N〉＝＝－，∴sin〈CM，D1N〉＝.故选B.答案：B2．(2011·全国)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.B.C.D．1解析：由AB2＝(AC＋CD＋DB)2＝AC2＋CD2＋DB2＋2AC·CD＋2AC·DB＋2CD·DB＝1＋|CD|2＋1，所以|CD|＝.过D作DE⊥BC于E，则DE⊥面ABC，DE即为D到平面ABC的距离．在Rt△BCD中，BC2＝BD2＋CD2＝3，∴BC＝.DE·BC＝BD·CD，∴DE＝.答案：C3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F，1∴AP＝(0,0,2)，DE＝，DF＝，设面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，则n＝(2,0,1)，设PA与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝＝，∴PA与平面DEF所成角为arcsin，故选C.答案：C4．如图所示，AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为()A.B.C.D.解析：如图，设底面中心为O，在对角面ADC1B1中，取AB1的中点为T，TD∥PQ，从而TD与AC1所成的角为所求．由相似可得∠AMD＝，故选D.答案：D5．如下图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A到平面MBD的距离是()2A.aB.aC.aD.a解析：A到面MBD的距离由等积变形可得．VA－MBD＝VB－AMD.易求d＝a.答案：D6．已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，过点P的一条直线与α，β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如右图，过P作α、β的垂线PC、PD，其确定的平面与棱l交于Q，过P的直线与α、β分别交于A、B两点，若二面角为80°，AB与平面α、β成30°，则∠CPD＝100°，AB与PD、PC成60°，因此问题转化为过P点与直线PD、PC所成角为60°的直线有几条． <60°，<60°，∴这样的直线有4条．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．7．(2011·全国)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．解析：如图，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的边长为3.3∴A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(0,3,2)∴AE＝(0,3,1)，AF＝(－3,3,2)设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，∴⇒令y＝1，∴z＝－3，x＝－1，∴n＝(－1,1，－3)又DD1＝(0,0,3)为面ABC的一个法向量，设平面AEF与平面ABC所成的二面角为θ∴cosθ＝|cos〈n，DD1〉|＝＝∴sinθ＝＝∴tanθ＝＝.答案：8．已知l1，l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB＝4，BC＝12，DF＝10，又l1与α成30°角，则β与γ间的距离是________；DE＝________.解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6.由面面平行的性质定理可得＝，∴＝，即＝.∴DE＝2.5.答案：62.59．坐标平面上有点A(－2,3)和B(4，－1)，将坐标平面沿y轴折成二面角A－Oy－B，使A，B两点的距离为2，则二面角等于________．解析：如图，AD⊥BC，BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，AB＝2，BC＝4，∴AC＝2，AD＝2，CD＝4，∴cosθ＝＝－＝－.答案：120°10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则直线DA1与AC间的距离为________．4解析：设n＝λAB＋μAD＋AA1是A1D和AC的公垂线段上的向量，则n·A1D＝(λAB＋μAD＋AA1)·(...
