专项强化训练(四)平行、垂直的综合问题1.(2015·济南模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且Error:Referencesourcenotfound=2.(1)求证:AB⊥PD.(2)求证:GN∥平面PCD.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,又因为AD⊥AB,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.(2)因为△ABC是正三角形,且M是AC的中点,所以BM⊥AC.在直角三角形AMD中,∠MAD=30°,所以MD=Error:ReferencesourcenotfoundAD.在直角三角形ABD中,∠ABD=30°,所以AD=Error:ReferencesourcenotfoundBD.所以MD=Error:ReferencesourcenotfoundBD.又因为Error:Referencesourcenotfound=2,所以BG=GD,又N为线段PB的中点,所以GN∥PD,又GN⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以GN∥平面PCD.2.(2015·太原模拟)如图所示,ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,AC和BD交于点G.(1)求证:AE∥平面BFD.(2)求三棱锥C-BFG的体积.【解析】(1)由题意可得G是AC的中点,因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥CE,又BC=BE,所以F是CE的中点,所以FG∥AE,又FG⊂平面BFD,AE⊄平面BFD,所以AE∥平面BFD.(2)由矩形ABCD知AD∥BC,因为AD⊥平面ABE,所以BC⊥平面ABE,所以BC⊥AE.因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE,又BC∩BF=B,所以AE⊥平面BCE.由(1)知G是AC的中点,F是CE的中点,所以FG∥AE且FG=Error:ReferencesourcenotfoundAE=1.所以FG⊥平面BCE.在Rt△BCE中,BF=Error:ReferencesourcenotfoundCE=CF=Error:Referencesourcenotfound,所以S△CFB=Error:Referencesourcenotfound×Error:Referencesourcenot1found×Error:Referencesourcenotfound=1.所以VC-BFG=VG-BCF=Error:ReferencesourcenotfoundS△CFB×FG=Error:Referencesourcenotfound×1×1=Error:Referencesourcenotfound.【加固训练】(2015·长春模拟)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求证:AE∥平面BCD.(2)求三棱锥D-BCE的体积.【解析】(1)取BC的中点M,连接DM,AM,因为BD=CD,所以DM⊥BC,又因为平面BCD⊥平面ABC,BC为交线,所以DM⊥平面ABC,因为AE⊥平面ABC,所以AE∥DM,又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM,在△BCD中,CD⊥BD,CD=BD,所以MD=Error:ReferencesourcenotfoundBC=1=AE,所以四边形AMDE是平行四边形,所以DE∥AM,且DE=AM=Error:Referencesourcenotfound,因为DM⊥平面ABC,所以DM⊥AM.又AM⊥BC,BC∩DM=M,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,则VD-BCE=VE-BCD=Error:ReferencesourcenotfoundS△BCD·DE=Error:Referencesourcenotfound×Error:Referencesourcenotfound·BC·DM·DE=Error:Referencesourcenotfound×Error:Referencesourcenotfound×2×1×Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound.3.(2015·天津模拟)如图,在边长为1的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=Error:Referencesourcenotfound.2(1)证明:DE∥平面BCF.(2)证明:CF⊥平面ABF.(3)当AD=Error:Referencesourcenotfound时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.【解析】(1)在等边△ABC中,AD=AE,所以Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,所以DE∥平面BCF.(2)在等边△ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥FC,BF=CF=Error:Referencesourcenotfound.因为在三棱锥A-BCF中,BC=Error:Referencesourcenotfound,所以BC2=BF2+CF2,CF⊥BF.因为BF∩AF=F,所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=Error:Referencesourcenotfound·Error:Referencesourcenotfound·DG·FG·GE=Error:Referencesourcenotfound×Error:Referencesourcenotfound×Error:Referencesourcenotfound×(Error:Referencesourcenotfound×Error:Referencesourcenotfound)×Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound.【加固训...
