四边形难题综合教师版VIP免费

第1页共12页1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC=30°，AB=2.求CF的长．【答案】2√2+2√6．【解析】试题分析：易证四边形ABDE是平行四边形，则AB=DE=CD，过点E作EH⊥BF于点H，解等腰直角三角形CEH得EH=CH=2√2，解FH=2√6，从而得CF=2√2+2√6．试题解析： 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC. AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形.∴AB=DE=CD，即D为CE中点. AB=2，∴CE=4.又 AB∥CD，∴∠ECF=∠ABC=45°.如图，过点E作EH⊥BF于点H， CE=4，∠ECF=45°，∴EH=CH=2√2. ∠EFC=30°，∴FH=2√6，∴CF=2√2+2√6．考点：1.平行四边形的判定与性质；2.含30度角直角三角形的性质；3.等腰直角三角形的性质．2．已知正方形ABCD，AB=8，点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t．（1）求证：OE=OF．（2）在点E、F的运动过程中，连结AF．设线段AE、OE、OF、AF所形成的图形面积为S．探究：①S的大小是否会随着运动时间为t的变化而变化？若会变化，试求出S与t的函数关系式；若不会变化，请说明理由．②连结EF，当运动时间为t为何值时，△OEF的面积恰好等于的S．【答案】（1）见解析（2）①见解析②t为时【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得出OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，求出AE=DF=t，根据SAS推出△EAO≌△FDO即可；（2）①延长EO交DC于M，求出△AOE≌△COM，根据全等三角形的性质得出AE=CM=t，根据S=S四边形AEMF﹣S△FOM求出即可；②根据全等得出OE=OM，求出S△EOF=S△EFM=16﹣4t，即可得出方程16﹣4t=×16，求出即可．（1）证明： 四边形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°， 点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t，∴AE=DF=t，在△EAO和△FDO中∴△EAO≌△FDO（SAS），∴OE=OF；（2）解：①S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化，理由是：延长EO交DC于M， 四边形ABCD是正方形，∴∠OAE=∠MCO=45°，OA=OC，在△AOE和△COM中∴△AOE≌△COM（ASA），∴AE=CM=t，∴S=S四边形AEMF﹣S△FOM=（t+8﹣t﹣t）•8﹣×（8﹣t﹣t）•4=16，所以S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化；② △AOE≌△COM，∴OE=OM，∴S△EOF=S△FOM=S△EFM=×（8﹣t﹣t）•8=16﹣4t，第3页共12页 △OEF的面积恰好等于的S，∴16﹣4t=×16，解得：t=，即当运动时间为t为时，△OEF的面积恰好等于的S．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．3．已知：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图2，若CF=2，CE=5，四边形ABCD的周长为28．求EF的长度．【答案】（1）证明见解析．（2）．【解析】试题分析：（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”和已知条件判定“同旁内角互补”，则两直线平行得到AD∥BC，于是得到结论；（2）由四边形ABCD是平行四边形，得到∠B=∠D，由于∠AEB=∠AFD=90°，得到△ABE∽△ADF，得到，根据比例的性质得到，得到AD=2DF，根据直角三角形的性质得到∠DAF=30°，∠D=60°，求出∠C=120°，由余弦定理求得结果．试题解析：（1）证明： 在四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠A+∠D=180°．又∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：设BC=x，CD=y，∴x+y=14，BE+DF=14-（5+2）=7， 四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D， ∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE∽△ADF，∴，∴，∴，∴AD=2DF，∴∠DAF=30°，∠D=60°，∠C=120°，根据余弦定理得：EF2=52+22-2×5×2•cos120°=25+4+10=39，∴EF=．考点：平行四边形的判定与性质．4．（本小题满分6分）如上图，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．（1）求证:CF＝CH；（2）如下图，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明...