第1页共12页1.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=45°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,∠EFC=30°,AB=2.求CF的长.【答案】2√2+2√6.【解析】试题分析:易证四边形ABDE是平行四边形,则AB=DE=CD,过点E作EH⊥BF于点H,解等腰直角三角形CEH得EH=CH=2√2,解FH=2√6,从而得CF=2√2+2√6.试题解析: 四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC. AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形.∴AB=DE=CD,即D为CE中点. AB=2,∴CE=4.又 AB∥CD,∴∠ECF=∠ABC=45°.如图,过点E作EH⊥BF于点H, CE=4,∠ECF=45°,∴EH=CH=2√2. ∠EFC=30°,∴FH=2√6,∴CF=2√2+2√6.考点:1.平行四边形的判定与性质;2.含30度角直角三角形的性质;3.等腰直角三角形的性质.2.已知正方形ABCD,AB=8,点E、F分别从点A、D同时出发,以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动,设运动时间为t.(1)求证:OE=OF.(2)在点E、F的运动过程中,连结AF.设线段AE、OE、OF、AF所形成的图形面积为S.探究:①S的大小是否会随着运动时间为t的变化而变化?若会变化,试求出S与t的函数关系式;若不会变化,请说明理由.②连结EF,当运动时间为t为何值时,△OEF的面积恰好等于的S.【答案】(1)见解析(2)①见解析②t为时【解析】试题分析:(1)根据正方形的性质得出OA=OD,∠EAO=∠FDO=45°,求出AE=DF=t,根据SAS推出△EAO≌△FDO即可;(2)①延长EO交DC于M,求出△AOE≌△COM,根据全等三角形的性质得出AE=CM=t,根据S=S四边形AEMF﹣S△FOM求出即可;②根据全等得出OE=OM,求出S△EOF=S△EFM=16﹣4t,即可得出方程16﹣4t=×16,求出即可.(1)证明: 四边形ABCD是正方形,∴OA=OD,∠EAO=∠FDO=45°, 点E、F分别从点A、D同时出发,以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动,设运动时间为t,∴AE=DF=t,在△EAO和△FDO中∴△EAO≌△FDO(SAS),∴OE=OF;(2)解:①S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化,理由是:延长EO交DC于M, 四边形ABCD是正方形,∴∠OAE=∠MCO=45°,OA=OC,在△AOE和△COM中∴△AOE≌△COM(ASA),∴AE=CM=t,∴S=S四边形AEMF﹣S△FOM=(t+8﹣t﹣t)•8﹣×(8﹣t﹣t)•4=16,所以S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化;② △AOE≌△COM,∴OE=OM,∴S△EOF=S△FOM=S△EFM=×(8﹣t﹣t)•8=16﹣4t,第3页共12页 △OEF的面积恰好等于的S,∴16﹣4t=×16,解得:t=,即当运动时间为t为时,△OEF的面积恰好等于的S.点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积的应用,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键,综合性比较强,难度偏大.3.已知:如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,如图2,若CF=2,CE=5,四边形ABCD的周长为28.求EF的长度.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】试题分析:(1)利用平行线的性质“两直线平行,同旁内角互补”和已知条件判定“同旁内角互补”,则两直线平行得到AD∥BC,于是得到结论;(2)由四边形ABCD是平行四边形,得到∠B=∠D,由于∠AEB=∠AFD=90°,得到△ABE∽△ADF,得到,根据比例的性质得到,得到AD=2DF,根据直角三角形的性质得到∠DAF=30°,∠D=60°,求出∠C=120°,由余弦定理求得结果.试题解析:(1)证明: 在四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.又∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形;(2)解:设BC=x,CD=y,∴x+y=14,BE+DF=14-(5+2)=7, 四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D, ∠AEB=∠AFD=90°,∴△ABE∽△ADF,∴,∴,∴,∴AD=2DF,∴∠DAF=30°,∠D=60°,∠C=120°,根据余弦定理得:EF2=52+22-2×5×2•cos120°=25+4+10=39,∴EF=.考点:平行四边形的判定与性质.4.(本小题满分6分)如上图,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.(1)求证:CF=CH;(2)如下图,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明...