向量在平面几何中的应用VIP免费

2.4.1向量在平面几何中的应用平面几何中的向量方法向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD中，设，则,ABaADb���ACABBCab�DBABADab�222||ADbAD�222||ABaAB�向量的夹角为∠BAD.,ABAD��例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。证明：由已知设,ABDCa��BEFDb��AEABBEab��FCFDDCba��AEFC��即边AE、FC平行且相等，AECF是平行四边形abbaFEDCBA（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形例2.求证平行四边形对角线互相平分．MDCBA证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设,AMxAC��BMyBD��则,AMxACxABxAD��()(1)AMABBMAByBDAByADAByAByAD�����根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以1xyxy解得1212xy所以点M是AC、BD的中点，即两条对角线互相平分.例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证DP⊥EF。PFEDCBA证明：选择正交基底{},ABAD��在这个基底下(1,0),(0,1)ABAD��设(,)APaa�(1,0),(0,)EBaBFa��PFEDCBA(1,)EFaa�(,1)DPAPADaa��(1,)(,1)(1)(1)0DPEFaaaaaaaa��所以DPEF��因此DP⊥EF.例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：设，则baDBbaACaDAbBC;,,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa∴222222BDACDACDBCAB例5如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC,,,ABaADbARr�ACab�由于与共线，故设AR�AC�(),rnabnR又因为共线，所以设EREB�与12()ERmEBmab�因为所以ARAEER�1122()rbmab1122()()nabbmab因此ABCDEFRT解：设则102()()mnmanb即,ab由于向量不共0102nmmn线，1解得：n=m=3111333,,ARACTCACRTAC�所以同理于是故AT=RT=TCABCDEFRT