第17部分：推理与证明VIP免费

第17部分：推理与证明一、选择题:1．（2010年高考山东卷文科10）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（A）(B)(C)(D)【答案】D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有=，故选D。【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识，考查同学们类比归纳的能力。二、填空题：1．（2010年高考福建卷文科16）观察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推测，m–n+p=.【答案】962【解析】因为所以；观察可得，，所以m–n+p=962。【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。2．（2010年高考福建卷文科15）对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：1[来源:学科网ZXXK]其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）。【答案】②③3．（2010年高考陕西卷文科11）观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为.【答案】13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.【解析】 所给等式左边的底数依次分别为；；，右边的底数依次分别为（注意：这里），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.三、解答题：1．(2010年高考北京卷文科20)（本小题共13分）已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为（Ⅰ）当n=5时，设，求，；（Ⅱ）证明：，且;(Ⅲ)证明：三个数中至少有一个是偶数（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）2=3(Ⅱ)证明：设[来源:学科网ZXXK]因为，所以从而由题意知[来源:Zxxk.Com]当时，当时，所以(Ⅲ)证明：设记由（Ⅱ）可知所以中1的个数为k,中1的个数为设是使成立的的个数。则由此可知，三个数不可能都是奇数即三个数中至少有一个是偶数。32．(2010年高考江西卷文科22)（本小题满分14分）正实数数列中，，，且成等差数列．（1）证明数列中有无穷多项为无理数；（2）当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和．【答案】证明：（1）由已知有：，从而，方法一：取，则．用反证法证明这些都是无理数．假设为有理数，则必为正整数，且，故．，与矛盾，所以都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数；方法二：因为，当得末位数字是3,4,8,9时，的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．（2）要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有又必为偶数，所以满足即时，为整数；同理4有也满足即时，为整数；显然和是数列中的不同项；所以当和时，为整数；由有，由有．设中满足的所有整数项的和为，则．3．（2010年高考上海卷文科22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。若实数、、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.解析：(1)x(2,2)；(2)对任意两个不相等的正数a、b，有，，因为，5所以，即a2bab2比a3b3接近；(3),kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ．4．（2010年高考广东卷文科21）（本小题满分14分）w_ww.k#s5_u.co*m已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；w_w*w.k_s_5u.c*o*m（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2...