第17部分:推理与证明一、选择题:1.(2010年高考山东卷文科10)观察,,,由归纳推理可得:若定义在上的函数满足,记为的导函数,则=(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在上的函数满足,即函数是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有=,故选D。【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识,考查同学们类比归纳的能力。二、填空题:1.(2010年高考福建卷文科16)观察下列等式:①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推测,m–n+p=.【答案】962【解析】因为所以;观察可得,,所以m–n+p=962。【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识,考查同学们的推理能力等。2.(2010年高考福建卷文科15)对于平面上的点集,如果连接中任意两点的线段必定包含于,则称为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):1[来源:学科网ZXXK]其中为凸集的是(写出所有凸集相应图形的序号)。【答案】②③3.(2010年高考陕西卷文科11)观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等式为.【答案】13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152).【解析】 所给等式左边的底数依次分别为;;,右边的底数依次分别为(注意:这里),∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为,右边的底数为.又左边为立方和,右边为平方的形式,故第四个等式为13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152).三、解答题:1.(2010年高考北京卷文科20)(本小题共13分)已知集合对于,,定义A与B的差为A与B之间的距离为(Ⅰ)当n=5时,设,求,;(Ⅱ)证明:,且;(Ⅲ)证明:三个数中至少有一个是偶数(Ⅰ)解:=(1,0,1,0,1)2=3(Ⅱ)证明:设[来源:学科网ZXXK]因为,所以从而由题意知[来源:Zxxk.Com]当时,当时,所以(Ⅲ)证明:设记由(Ⅱ)可知所以中1的个数为k,中1的个数为设是使成立的的个数。则由此可知,三个数不可能都是奇数即三个数中至少有一个是偶数。32.(2010年高考江西卷文科22)(本小题满分14分)正实数数列中,,,且成等差数列.(1)证明数列中有无穷多项为无理数;(2)当为何值时,为整数,并求出使的所有整数项的和.【答案】证明:(1)由已知有:,从而,方法一:取,则.用反证法证明这些都是无理数.假设为有理数,则必为正整数,且,故.,与矛盾,所以都是无理数,即数列中有无穷多项为无理数;方法二:因为,当得末位数字是3,4,8,9时,的末位数字是3和7,它不是整数的平方,也不是既约分数的平方,故此时不是有理数,因这种有无穷多,故这种无理项也有无穷多.(2)要使为整数,由可知:同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有或当时,有又必为偶数,所以满足即时,为整数;同理4有也满足即时,为整数;显然和是数列中的不同项;所以当和时,为整数;由有,由有.设中满足的所有整数项的和为,则.3.(2010年高考上海卷文科22)(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分。若实数、、满足,则称比接近.(1)若比3接近0,求的取值范围;(2)对任意两个不相等的正数、,证明:比接近;(3)已知函数的定义域.任取,等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).解析:(1)x(2,2);(2)对任意两个不相等的正数a、b,有,,因为,5所以,即a2bab2比a3b3接近;(3),kZ,f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期T,函数f(x)的最小值为0,函数f(x)在区间单调递增,在区间单调递减,kZ.4.(2010年高考广东卷文科21)(本小题满分14分)w_ww.k#s5_u.co*m已知曲线,点是曲线上的点(n=1,2,…).(1)试写出曲线在点处的切线的方程,并求出与轴的交点的坐标;(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值,试求试点的坐标;w_w*w.k_s_5u.c*o*m(3)设与为两个给定的不同的正整数,与是满足(2...