《线段的垂直平分线》复习导入：1。轴对称图形的定义是什么？（如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形）2。线段是轴对称图形吗?它的两个端点是否关于某条直线成轴对称?AB你能利用折纸的方法将线段AB分成两段彼此相等的线段吗？AB折一折折一折☆垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线(简称中垂线)．☆线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线.•线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线.•经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫线段的垂直平分线（简称中垂线）AMNBC试验与探索：试验：按以下方法，观察线段是否是轴对称图形?请同学们在练习本上画出线段AB，把线段AB对折，观察折痕两边的线段CA和CB是否完全重合？结论：线段CA和CB完全重合，因此，线段AB是轴对称图形。AMNBC问题1：既然线段AB是轴对称图形。那么它的对称轴是什么呢？（直线MN)(MNAB⊥CA=CB即：直线MN垂直并且平分线段AB.)定义：经过线段中点并且垂直这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（也称中垂线）。如上图，直线MN就是线段AB的垂直平分线问题2：直线MN具有什么特征或特性?ACDBM探索：在以上试验的基础上，同学们在直线MN上任意取一点P,连接PA,PB,然后沿直线MN将纸折叠，观察线段PA和PB是否完全重合？发现:线段PA和PB是能够完全重合的。即PA=PBAMNBCP对于MN上的任意一点P，这个结论都成立吗？BMPANCPPBBACDBME线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。若E是线段AB的垂直平分线CD上的一点则EA=EB猜想：命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。回忆：证明一个几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证；2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。命题的已知是：一个点是线段垂直平分线上的点；求证是：这个点到线段的两个端点距离相等。AMNBCP已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MNAB⊥，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．NAPBCM证明： MNAB⊥，∴∠PCA=PCB=90°∠ AC=BC，PC=PC,∴△PCAPCB(SAS)≌△；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．已知：如图，直线MNAB⊥，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明： MNAB⊥，∴∠1=∠2=90°（垂直的定义）在△PCA与△PCB中AC=BC（已知）∠1=2∠（已证）PC=PC（已知）∴△PCAPCB(SAS)≌△∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．NAPBCM12证法二：利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．ACDBME线段的垂直平分线(中垂线)特征线段的垂直平分线上的一点到这条线段的两个端点的距离相等因为直线CD是线段AB的垂直平分线,从而点A与点B关于直线CD对称,于是沿着直线CD折叠时A与B重合,又P在对称轴CD上,所以PA=PB.你能用别的方法证明吗?CpABD应用举例:例1。如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线MN分别交AB于点M,交BC于点N,ΔBMC的周长为23,且BM=7,求BC的长。CBMNA解:MN 是线段BC的垂直平分线BM=7∴CM=BM=7 ΔBMC的周长=23∴BM+CM+BC=23∴BC=23-CM-BM=23-7-7=9例2。如图，BC=BA，MN垂直平分BC，若△ABC周长为28，CA=8，求:△DCA的周长。解： △ABC周长为28，CA=8BC=BABCADMN∴2BA+CA=28∴BA=10 MN垂直平分BC∴BD=DC∴△DCA的周长=DC+DA+CA=BD+DA+CA=BA+CA=10+8=18例3。如图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线,它们交于点Ｏ,试判断线段ＯA和ＯC是否相等？请说明理由？NMＯEDCBA解：相等，连接ＯB. MN是线段AB的垂直平分线（已知）∴ＯA=ＯB（线段中垂线的性质）又 DE是线段BC的垂直平分线（已知）∴ＯB=ＯC（线段中垂线的性质）∴ＯA=ＯC（等量代换）课堂练习:1。如图，ＰＱ是线段DE、BC的中垂线，BD与CE相等吗？为什么？CＱＰDEBA2。如图，平面上有三个点A、B、C。你能否找到一个点P,使得PA=PB=PC？BCA课堂小结:线段垂直平分线的性...
