课题从不同数学思想角度谈解三角形解三角形是近些年高考的热点，各省市的命题人在命题方向上标新立异，但是我们可以从不同的方向上来解析历年省市的真题、各地的模拟题，从而探索解三角形的热点命题规律，进一步的提升对该知识点的解题能力。角度一：转化与化归思想i转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．利用正、余弦定理，通过“边化角、角化边、切化弦等”的角度对问题进行转化，转化为熟悉的三角恒等变换、三角函数、平面向量等问题，再进行求解．1．在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝，c＝，1＋＝，则C等于()A．30°B．45°C．45°或135°D．60°【解析】由1＋＝和正弦定理，得cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，∴cosA＝60°．由正弦定理，得＝，则sinC＝．又c＜a，∴C＜60°，故C＝45°．【答案】选C2．在三角形ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc．若a＝，S为△ABC的面积，则S＋3cosBcosC的最大值为()A．3B．C．2D．【解析】由cosA＝＝＝－，∴A＝，又a＝，故S＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC，因此S＋3cosBcosC＝3sinBsinC＋3cosBcosC＝3cos(B－C)，于是当B＝C时取得最大值3．【答案】选A3已知三角形ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为()A．B．C．D．【解析】依题意，不妨设三边长a＝m－1，b＝m，c＝m＋1，其中m≥2，m∈N，则有C＝2A，sinC＝sin2A＝2sinAcosA，由正、余弦定理得c＝2a·，则bc2＝a(b2c2－a2)，于是m(m＋1)2＝(m－1)(m2＋4m)，解得m＝5，故cosA＝＝＝．【答案】选A第1页，共8页14．在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，＋＝6cosC，则＋的值是．【解析】由＋＝6cosC，得b2＋a2＝6abcosC.化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将＋切化弦，得·(＋)＝·＝·＝.根据正、余弦定理得＝＝＝＝4.【答案】45．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．【解析】由正弦定理知＝＝，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA．又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sinC)＝2(2sinC＋cosC)＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.【答案】26．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知tan＝2．(1)求的值；(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．【解】(1)由tan＝2，得tanA＝，∴＝＝(2)由tanA＝，A∈(0，π)，得sinA＝，cosA＝又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3由sinC＝sin(A＋B)＝sin(A＋)，得sinC＝则△ABC的面积S＝absinC＝9．【变式1－1】钝角三角形的三边长为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是()A．0＜a＜3B．≤a＜3C．2＜a≤3D．1≤a＜【解析】因为a，a＋1，a＋2为钝角三角形的三边长，∴a＋a＋1＞a＋2，则a＞1．由大边对大角可知，边长为a＋2的边对应的角θ最大，由余弦定理得cosθ＝∈(0，－)，得≤a＜3．【答案】选B【变式1－2】若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是()A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(1，2)【解析】因为C＝60°，AB＝，由正弦定理，得＝＝2，∴a＝2sinA，又 A＋B＝120°，且三角形有两解，∴60°＜A＜120°，且A≠90°，即＜sinA＜1，得＜a＜2．【答案】选C【变式1－3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.(1)求cosA的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【解】(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.(2)由cosA＝－，0＜A＜π，得sinA＝，由正弦定理，有＝，所以sinB＝＝.第2页，共8页2由题知a＞b，则A＞B，故B＝.根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得...
