用导数求解二项式系数问题VIP免费

一、系数问题：已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑an的值；(2)∑nan的值．解(1)∵(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10∴令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32；令x＝－1，则a0＝1，即∑an＝31.(2)（赋值法）∵(x2＋2x＋2)5＝[1＋(x＋1)2]5＝C50×15＋C51(x＋1)2＋C52(x＋1)4＋C53(x＋1)6＋C54(x＋1)8＋C55(x＋1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，∴a0＝C50，a1＝a3＝a5＝a7＝a9＝0，a2＝C51，a4＝C52，a6＝C53，a8＝C54，a10＝C55.∴∑nan＝a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝2C51＋4C52＋6C53＋8C54＋10C55＝10C51＋10C52＋10C55＝50＋100＋10＝160.(导数法)：对等式：(1x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10两边同时求导得：5(x2+2x+2)4(2x+2)=a1+2a2(x+1)+¿⋅¿+9a9(x+1)8+10a10(x+1)9=∑n=110nan(x+1)n−1再令x＝0即可。二、拓展延伸：在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和即为a由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C100+C101+C102+…+C1010＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C100+C102+…+C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C101+C103＋…＋C109＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②2①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，∴奇数项的系数和为；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，∴偶数项的系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.三、探究提高：(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝。四、巩固训练：1．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________.分析：（导数法）等式两边求导得：3(2x+3)2×2=a1+2a2(x+2)+3a3(x+2)2令x=−1；令原等式中的x=−2得得a0=−1，相加即可。2．若a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0＝x4，则a3－a2＋a1＝______.答案：1.5;2.－14。3