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用导数求解二项式系数问题VIP免费

用导数求解二项式系数问题_第1页
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一、系数问题:已知等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,其中ai(i=0,1,2,…,10)为实常数.求:(1)∑an的值;(2)∑nan的值.解(1)∵(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10∴令x=0,则a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32;令x=-1,则a0=1,即∑an=31.(2)(赋值法)∵(x2+2x+2)5=[1+(x+1)2]5=C50×15+C51(x+1)2+C52(x+1)4+C53(x+1)6+C54(x+1)8+C55(x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,∴a0=C50,a1=a3=a5=a7=a9=0,a2=C51,a4=C52,a6=C53,a8=C54,a10=C55.∴∑nan=a1+2a2+3a3+…+10a10=2C51+4C52+6C53+8C54+10C55=10C51+10C52+10C55=50+100+10=160.(导数法):对等式:(1x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10两边同时求导得:5(x2+2x+2)4(2x+2)=a1+2a2(x+1)+¿⋅¿+9a9(x+1)8+10a10(x+1)9=∑n=110nan(x+1)n−1再令x=0即可。二、拓展延伸:在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解:设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)各项系数和即为a由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C100+C101+C102+…+C1010=210.(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为C100+C102+…+C1010=29,偶数项的二项式系数和为C101+C103+…+C109=29.(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②2①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,∴奇数项的系数和为;①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,∴偶数项的系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=;x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=.三、探究提高:(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=。四、巩固训练:1.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则a0+a1+2a2+3a3=________.分析:(导数法)等式两边求导得:3(2x+3)2×2=a1+2a2(x+2)+3a3(x+2)2令x=−1;令原等式中的x=−2得得a0=−1,相加即可。2.若a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0=x4,则a3-a2+a1=______.答案:1.5;2.-14。3

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