导数及其应用简版VIP免费

导数及其应用（一）一.有关概念导数定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,即当x→0时,函数从x0到x0+x的平均变化率的极限值,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:f(x0)或yx=x0.即f(x0)=xxfxxfx)()(lim000导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新的函数,这个函数称为函数y=f(x)在开区间内的导函数,记作:f(x)或y.求导数的方法（1）定义法（2）公式法基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f(x)=0f(x)=xn(nQ)f(x)=nxn-1f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf(x)=exf(x)=exf(x)=axf(x)=axlnaf(x)=lnxf(x)=f(x)=logaxf(x)=x1axln1导数的四则运算法则(1)[f(x)g(x)]=f(x)g(x)(2)[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)(3)[]=(g(x)0))()(xgxf)()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf复合函数的导数一般地、设函数u=(x)在点x处有导数,y=f(u)在点x的对应点u处有导数,则复合函数y=f[(x)]在x处也有导数.即:f[(x)]=f(u)(x)二.常见题型1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数研究函数的极值和最值；3.利用导数作出函数图象；3.利用导数证明函数不等式；4.利用导数求变量的取值范围；5.恒成立问题；6.存在性问题；7.是否存在性问题；三.主要思想方法1．函数与方程思想；2．化归与转化思想；3．数形结合思想；4．分类讨论思想.5.特殊---一般---特殊思想.四．关于含有“任意”与“存在”性问题1.x1A,x2B,使f(x1)=g(x2),则有Mf=Ng;2.x1A,x2B,使f(x1)=g(x2),则有MfNg;3.x1A,x2B,使f(x1)=g(x2),则有MfNg4.x1A,x2B,使f(x1)g(x2),则有f(x)ming(x)max;5.x1A,x2B,使f(x1)g(x2),则有f(x)ming(x)min;6.x1A,x2B,使f(x1)g(x2),则有f(x)maxg(x)max;7.x1A,x2B,使f(x1)g(x2),则有f(x)maxg(x)min;例1．已知f(x)=(xR),若关于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0恰有四个不相等的实根，则实数m的取值范围是()A．(,2)(2,e)B.(,1)C．(1,+1)D．(,e)xexe1e1e1e1C数形结合思想与化归与转化的思想应用C方法：把复杂问题转化成简单问题；把代数问题转化成几何问题例2．设函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3–x2–3(1)如果对s,t[1,2]都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.(2)如果对s[1,2],t[1,2]使f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.(3)如果s[1,2],对t[1,2],有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.(4)如果s[1,2],t[1,2],使f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.xaa[1,+)a[-3,+)a[2-4ln2,+)a[-6-4ln2,+)(1)f(x)ming(x)max(2)f(x)ming(x)min(3)f(x)maxg(x)max(4)f(x)maxg(x)min例3.设函数f(x)=+xlnx,g(x)=3x2-2x;(1)如果对x[1,2]都有f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围.(2)如果x[1,2]使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围.xa问题：例1、例2的区别与联系？区别：在例2中两个函数f(x)、g(x)自变量的取值不一定相同；在例3中两个函数自变量的取值一定相同.a16-4ln2a1例4.设函数f(x)=alnx-bx2(x>0).(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切，求a,b的值；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在,e上的最大值；(3)当b=0时，若不等式f(x)m+x对所有的a0，,x(1，e2都成立，求实数m的取值范围.21e123a=1；b=21f(x)max=f(1)=-21(-,-e2]多变量下的恒成立和存在性问题-----逐步减少变量变式：(3)当b=0时,若不等式f(x)m+x存在a0，且对所有的x(1，e2,都成立，求实数m的取值范围.23(-,3-e2]例1.已知a,b是实数，1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a,b的值；(2)设h(x)=f(f(x))-c,其中c[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.导数及其应用（三）化归与转化思想及数形结合思想的应用函数零点方程的根函数图象与x轴交点的横坐标两个函数图象交点的横坐标a=0,b=-3导数解决问题的难点在于：求导以后无法求出导数的零点。常用技巧有：1.注意观察、变形导数式得到导数的零点。2.提取因式，然后求导。（二次求导）3.设出导数的零点，利用零点存...