杨辉三角与二项式系数的性质VIP免费

11[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质22[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项定理:新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？33[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性44[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?55[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++66[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理《详解九章算法》中记载的表杨辉杨辉三角77[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理二项式系数的性质二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n88[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理①对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr二项式系数的性质二项式系数的性质99[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理②增减性与最大值112111()()()CC()!kknnnnnnknkkkk由于：所以相对于的增减情况由决定knC1Cknkkn1二项式系数的性质二项式系数的性质由：2111nkkkn即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。21nk可知，当时，1010[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理因此,当n为偶数时,中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数12Cnn12Cnn相等，且同时取得最大值。②增减性与最大值二项式系数的性质二项式系数的性质1111[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理③各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．二项式系数的性质二项式系数的性质1212[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理例证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：1,1bannnnnnnnCCCCC)1(113210nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)()()(03120nnnnCCCC赋值法赋值法赋值法赋值法证明：1222nn3n1n2n0nCCCC1313[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想a单调性；b图象；c最值。各二项式系数的和增减性与最大值对称性小结1414[普通高中课程数学选修2-3]1.3二项式定理121010101013579111111111111111._____;_____.CCCCCCCCC102102410211023知识对接测查3知识对接测查32.求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123112nnnnnnCCCnCn倒序相加法