vuvu根式函数的最值求法探究江西省婺源县天佑中学俞兴保手机：13576364186邮箱：83804818@qq.com根式函数的最值问题在近几年高考题中也妥妥出现，它们通常以函数、方程、不等式的形式出现。而根式函数为什么能成为高考题或竞赛题的热门问题，那是因为这类问题的解题方法巧、灵活性强、应用知识面广等特点，能考查学生的观察、类比、联想、转化、创新等多种能力。下面就从一道根式函数的最值求法进行多种探究来展示这类问题的特点。例题：求函数的值域。（解法一：分析根式函数的定义域，根据定义域的有界性可以利用三角换元法来求解）解：由函数定义域为：，则可设：原式可化为：由则，所以即原函数值域：。点评：这类定义域为有界的函数，可利用三角换元，此题还有一种换元就是：设，则原函数可化为：，同上可求得值域。总结：若定义域的长度不是1，不妨设定义域为，则可换元为：或换元为：，换元之后可用三角函数知识进行化简求值域。（解法二：分析根式函数可用代数换元，把一个根式换成一个变量或把二个根式换成二个变量，若换成一个变量，则变成一个新的整式函数进行求解，若换成二个变量，则用线性规划思想进行求解。）解：设，则原函数变成二元变量函数，根据：，且，可以知道动点在第一象限的单位圆上，作图由线性规划思想可得：最大值最优解为，得最大值为2；最小值最优解为，得最小值为1。所以原函数值域：。点评：在引入二个变量时，最好使二个变量的动点轨迹为圆的一部分。（解法三：把上式构造成二个向量的数量积，使其中一条向量为已知向量，另一条向量为动向量，并且让这条动向量的起点在原点且终点在一个单位圆上。）解：原函数可看成与的数量积，然后把的起点放在原点，终点则在一个第一象限的单位圆上。作图可得：动向量在上的射影的最大值为1，最小值为，由，根据数量积可得原函数的值域为：。点评：此法在函数上构造二个向量之积，由于向量的数量积为一条向量的射影与另一条向量的模的乘积，而通过作图思想是可以找到最大与最小射影。yx（解法四：还可以把上式可以构造成动点到直线的距离，让动点在一个圆的一部分上。）解：把构造成，可看成动点（其中）到直线的距离的2倍。由图易得：最大距离为1，最小距离为。所以原函数值域：。点评：一个可以看成绝对的函数就可以构造成点到直线的距离形式。然后利用数形结合思想找到最大距离和最小距离。变式训练一：求函数的值域。（根据函数的定义域为：，可利用三角换元，即设或设。就可以求得值域：。）变式训练二：求函数的值域。（由于，所以引入二个变量从而利用线性规划思想求得值域：，此题也可以看成二个向量的数量积，利用数形结合找到最大射影和最小射影，从而求出值域。还可以看成动点）到直线的距离的倍，然后利用数形结合找到动点到定直线的最大距离和最小距离的倍来求出值域。）变式训练三：求函数的值域。（由于定义域为R，可利用三角换元，即设，则原函数化为：，此式又看成点A与点B的斜率。然后根据的范围可得点A轨迹为单位圆的第一、四象限部分。并根据数形结合找到最小斜率为－1，最大斜率趋向于正无穷，所以函数值域为：。）变式训练四：求函数的值域。（根据比值就可以看成动点A，（其中）与定点B的斜率，且动点A是单位圆的第一、第二象限部分，然后结合图像可得最大斜率为，最小斜率为0，即函数的值域：。）
