新人教A版必修一132函数的奇偶性VIP专享VIP免费

xy0现实中的对称关系无处不在!轴对称与中心对称观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？)()()()1(1)1()2(4)2(22xfxxxfffff)()()1(1)1()2(2)2(xfxxxfffff(2)相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征的？2)(xxfx…-2-1012……41014……-2-1012……21012…xxf)(x实际上，对于2)(xxf)()()(22xfxxxfxR内任意的一个,都有为偶函数.这时我们称函数请你仿照这个过程，说明函数xxf)(也是偶函数.1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.112)(,1)(22xxfxxf观察函数和的图象，你能发现两个函数有什么共同特征吗？)()()1(1)1()2(2)2(xfxxfffffxxf)(xxf1)()(1)()1(1)1()2(21)2(xfxxfffffx)()(xfxf)(xfy,都有共同特征:)(xf的定义域内的任意一个.这时称函数为奇函数.2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.例5、判断下列函数的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf(1)解：定义域为Rf(-x)=(-x)∵4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数(2)解：定义域为Rf(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(3)解：定义域为{x|x≠0}f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(4)解：定义域为{x|x≠0}f(-x)=1/(-x)∵2=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.归纳:课堂练习]3,1[,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22xxxfxxfxfxfxxfxxxf判断下列函数的奇偶性：答案:(1)奇;(2)偶;(3)偶;(4)既奇又偶;(5)非奇非偶;(6)非奇非偶3.奇偶函数图象的性质（1）奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.（2）偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.b、判断函数的奇偶性例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略相等xy0相等本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称★判断下列函数的奇偶性：补充练习;11)()1(22xxxf.331)()3(2xxxf)()2(xf,0,1212xx.0,2121xx.,y,,,)({-1,1},:.,)(),1(0)-1(),1(0)-1(.{-1,1},,1:)1(:2010122偶函数此函数既是奇函数又是轴对称于且既关于原点对称又关两点即图象只有两个点函数的定义域为方法二又是偶函数既是奇函数且又它关于原点对称函数的定义域得由方法一解答BAxfxfffffxxxxyoAB-11;11)()1(22xxxf.,,,:.)().()()(0,,0)(-).()121(1211)(21)(,0,0);()121(1)(21)(,0-0.),(0,,0)(-)(:)2(22222故此函数为奇函数对称因函数的图象关于原点如图所示作出函数的图象方法二是奇函数上总有综上，在时当时，当关于原点对称的定义域为分段函数方法一xfxfxfxfxxxxfxxxfxxxfxxxfyxo1-1)()2(xf,0,1212xx.0,2121xx.).(1)(1)(;11331)(22222即函数是奇函数xfxxxxxfxxxxxxxf.(0,1],[-1,0))(,011)3(0x-103x-32关于原点对称的定义域为故函数且得由xfxx.331)()3(2xxxf作业：P30A组第5题B组第3题