学案学案33空间图形的基本空间图形的基本关系与公理关系与公理名师伴你行考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五名师伴你行返回目录名师伴你行1.空间图形的基本关系（1）点与直线的位置关系有两种；（2）点与平面的位置关系有个两种.（3）空间两条直线的位置关系：点在直线上和点在直线外点在平面内和点在平面外返回目录名师伴你行①直线a和直线b在同一个平面内，而且没有公共点，这样的两条直线叫作；②直线b和c只有一个公共点，这样的两条直线叫作；③不同在任何的一个平面内的两条直线叫作.（4）直线与平面的位置关系直线和平面有无数个公共点称；直线和平面没有公共点称；直线和平面只有一个公共点称.（5）平面与平面的位置关系异面直线平行直线相交直线直线在平面内直线和平面平行直线和平面相交返回目录名师伴你行平面α和平面β没有公共点，称平面α与平面β为；两个平面不重合且有公共点，称两个平面为.2.空间图形的公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内（即直线在平面内）.直线a在平面α内，记作.公理2经过不在同一条直线上的三点，一个平面（即可以确定一个平面）.平行平面相交平面所有的点aα有且只有⊆返回目录名师伴你行公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有.平面α与平面β的公共直线为a，记作.公理4平行于同一条直线的两条直线.定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角.相等或互补一条通过这个点的公共直线α∩β=a平行返回目录如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH:HD；（2）求证：EH，FG，BD三线共点.考点一证明共点问题考点一证明共点问题名师伴你行【分析】【分析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证.返回目录名师伴你行返回目录【解析】【解析】（1） =2，∴EFAC.∥∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EFGH.∥而EFAC∥，∴ACGH.∥∴=3，即AH:HD=3:1.GDCGHDAH=FBCFEBAE=名师伴你行⊂返回目录（2）证明： EFGH∥，且，，∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P,则PEH,∈而EH平面ABD，PFG∈，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴PBD.EH∈∴，FG，BD三线共点.31ACEF=41ACGH=名师伴你行⊂⊂所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.（1）证明三线共点的依据是公理3.（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.返回目录名师伴你行＊对应演练＊＊对应演练＊如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG=BC，CH=DC.求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）三直线FH，EG，AC共点.3131返回目录名师伴你行返回目录（1）连接EF，GH.由E,F分别为AB,AD中点，∴EFBD,由CG=BCCH=DC，∴HGBD，∴EFHG∥且EF≠HG. EF,HG可确定平面α,∴E,F,G,H四点共面.21313131＝∥＝∥名师伴你行（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EFHG∥，EF≠HG.∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O， 点O∈直线FH，直线FH面ACD，∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC.又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2）.∴三直线FH，EG，AC共点.返回目录名师伴你行⊂在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.【分析】【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上.考点二点共线问题考点二点共线问题返回目录名师伴你行【证明】【证明】如图,A 1AC∥1C,∴A1A,C1C确定平面A1C. A1C平面A1C,OA∈1C,∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩线A1C,∴O∈平面BDC1,∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上. AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C,∴平面BDC1∩平面A1C=C1M,∴OCM,∈即M,O,C1三点共线.返回目录名...
