一道源于课本的运动三角形练习题的拓展北京师范大学版的九年级《数学》下册的第二章复习题的第12题：如图（单位：M）．等腰直角三角形ABC以2M/s的速度沿着直线向正方形移动，直到AB与CD重合．设时，三角形与正方形重叠部分的面积为．AD①．写出与的关系表达式；②．当=2，3.5时，分别是多少？10③．当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？B10C这是一道可运动的三角形向固定的正方形移动的题型．即是动与静结合的运动图形的题型．此题适合于训练学生以运动的观点来考察问题的思维变化的题型，也适用于训练学生开拓创新和考查学生的演变能力的题型，所以此题往往会被利用演变为中考压轴题．下面对这道练习题进行几种情形的演变和拓展．一、运动的三角形与固定的三角形不完全重叠的情形．这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，呈现出两个不同的抛物线形状的变化，属于分段函数．这里有隐藏的最大值，并且除最大面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到．例1．如图，RTΔABC与RTΔDEF同在一条直线L上，其中∠C=90°，∠F=90°，RTΔABC与RTΔDEF是两个全等的三角形．又知RTΔABC的三边长正好是一组勾股数，且其周长为12厘米，AC＜BC．当B点与E点重合时，RTΔABC以1厘米/秒的速度沿着箭头方向，向着固定不动的RTΔDEF运动．设运动x秒后两三角形重叠部分的面积用y表示．①．求x与y之间的函数关系式．②．问几秒钟时两三角形重叠部分的面积是3平方厘米？③．两三角形重叠部分的面积是否能达到平方厘米？为什么？④．几秒钟时两三角形重叠部分的面积最大？解：⑴．在RTΔABC中周长为12厘米的一组勾股数正好是3、4、5．根据∠C=90°，AC＜BC可知AC=3，BC=4，AB=5．①．如图，当0＜≤4时，设两三角形重叠时AB与DE相交的交点为P．这时过P点作PQ⊥L于Q．则ΔEPB是等腰三角形． PQ∥AC，BE=，QB=，AC=3，BC=4∴即∴y=②．如图，当4＜＜8时，设两三角形重叠时AB交DE于M，AB交DF于T．这时过M点作MN⊥l于N．则ΔEMB是等腰三角形，BN=，BF=-4 TF∥AC∥MN，AC=3，BC=4∴即∴即∴y=MTEFECEBELAEDEAPDFBQECL∴当0＜≤4时，x与y之间的函数关系式是y=．当4＜＜8时，x与y之间的函数关系式是y=．⑵．当y=3时有：=3，得=4或=-4（不合题意，舍去）又当y=3时有：=3，得=或=44∴秒或秒时，两三角形重叠部分的面积是3平方厘米⑶．由x与y之间的函数关系式是y=和y=可知y的最大值是4．所以两三角形重叠部分的面积不能达到平方厘米．⑷．又由x与y之间的函数关系式是y=和y=可知，秒时两三角形重叠部分的面积最大，这个最大面积是4．二、运动的三角形能被固定的正方形恰好覆盖的情形．这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，也呈现出两个不同的抛物线形状的变化，也属于分段函数．但这里的最大值不隐蔽．同样地除最大面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到．例2．如图，△ABC是Rt△，∠C=90°，它的三边长由一组勾股数组成，周长为12，且BC＞AC．正方形DEFG的边长等于AB长，△ABC向着固定的正方形DEFG运动，且BC边与EF边同在一直线上．当B点与E点重合时，△ABC以1厘米/秒的速度沿直线l按箭头方向开始匀速运动，x秒后固定不动的正方形DEFG与△ABC重叠的部分的面积为y．①求正方形DEFG的边长②求y与x之间的函数关系式．③几秒钟后重叠部分的面积为平方厘米．解：①周长为12的一组勾股数为3、4、5，所以在Rt△ABC中 ∠C=90°，BC＞AC∴AC=3，BC=4，AB=5 正方形DEFG的边长等于AB长∴正方形DEFG的边长等于5②当0＜x≤4时，设AB交DE于M，那么BE=x，AC=3，BC=4，y=Rt△MEB的面积 ME∥AC∴，即ME=∴y=当4＜x＜8时，设AB交GF于N，那么BF=x-4，AC=3，BC=4，y=四边形ACFN的面积 NF∥AC∴，即NF=LMDGFBECA③当y=，且y=时，得∴（不和题意，舍去）又当y=，且y=时，得=∴∴（不和题意，舍去）∴当秒或秒后重叠部分的面积为平方厘米．三、运动的三角形与固定的三角形恰好完全重叠的情形．这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，也呈现出两个不同的抛物线形状的变化，也属于分段函数．但这里的最大值也不隐蔽...
