梯形模型及其应用VIP免费

对数学模型化的一点思考王鸿（兰州市第82中730060）汤敬鹏（兰州市第57中730070）笛卡尔曾经提出过这样的设想：任何问题都可化为数学问题，任何数学问题都可化为代数问题，任何代数问题都可化为方程问题，通过解方程就可解决所有的问题。笛卡尔的设想虽然没有实现，但笛卡尔的设想却给我们一种启示，是否可以对一些不同类型的问题找出一种统一的数学模型加以解决。本文所探讨的是以梯形模型来解决几种不同类型的问题。引理1：如果在梯形ABCD中，AB∥CD，AC与BD交于O点，E、F分别在AD、BC上，EF∥AB，那么EF经过O点的充要条件是AE∶ED＝AB∶DC证明：⑴必要性：∵AB∥EF∥CDEF过O点∴AE∶ED＝AO∶OC＝AB∶CD⑵充分性：设E’、F’分别在AD、BC上，E’F’∥AB且E’F’过O点由必要性必有AE’∶E’D＝AB∶DC又∵AE∶ED＝AB∶DCE在AD上∴E与E’重合同理：F与F’重合∴EF过O点引理2：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b，AC与BD交于O点，E、F分别在AD、BC上，EF∥AB，如果EF经过O点，那么点O为EF的中点且EF＝证明：∵AB∥EF∥CDEF过O点EODC∴∶＝AOAC∶＝BOB∶D＝OFDC∶EO∴＝OF∴点O为EF的中点又∵EO∶DC＝AO∶ACOF∶AB＝OC∶ACAB＝aCD＝b∴即OE＝∴EF＝其中也称为a与b的调和平均数。将引理中的梯形特殊化为一直角梯形ABCD（如图2），AB∥CD，AD⊥AB，E、F分别在AD、BC上，BF＝AB＝a，CF＝CD＝b（a＜b），M、N分别为AD、BC的中点（由于，所以E比M更靠近A点）。此梯形还有一些独特的性质：性质1：连结MB、MC，则∠BMC＝90°（如图3）；由此可知，以BC为直径的圆与AD相切于点M。性质2：连结AF、DF，则∠AFD＝90°（如图4）；性质3：连结MF，则MF⊥BC；MB、MC分别是∠ABC、∠BCD的平分线（如图5）由性质2、3可知，以AD为直径的圆与BC相切于点F。引理所表明的性质及上述直角梯形模型有一定的应用价值。⒈证明重要不等式：例1：若a、b∈R＋，则证明：如图6构造上述直角梯形，AB=a，CD=b，由引理及性质3可知EF＝，MF＝，MN＝根据直角三角形中直角边小于斜边可知：＜＜当AB＝CD时，梯形退化为矩形，此时E与M、F与N重合，则EF＝MF＝MN∴≤≤（当且仅当a=b时取“＝”号）⒉证明平面几何问题：例2：已知：如图7，在△ABC中，AD是内角平分线，AG是外角平分线，求证：证明：延长BA至C’，使AC’＝AC，作AE∥DG且AE＝DG，连结GE，作C’G’∥BG，C’G’交GE的延长线于G’∵AD是△ABC的内角平分线∴∴AD∥C’C∵AE∥DG且AE＝DG∴四边形ADGE为平行四边形∴AD∥GG’∴CC’∥GG’∵C’G’∥BG∴四边形C’G’GC为平行四边形∴C’G’＝CG∵AG为△ABC的外角平分线∴∴由引理1、2可知AE＝即∴此例为文⑴中例题，原证法利用三角函数相关知识证明。⒊证明解析几何问题：例3：已知F为抛物线y2=2px的焦点，AB为过F的直线，A、B在抛物线上，A、B的纵坐标分别为y1、y2，求证：y1y2=-p2证明：不妨设y1>0、y2<0，分别过点A、B向准线作垂线，垂足为C、D，准线与x轴的交点为E，则yC=y1，yD=y2根据性质2及射影定理，必有EF2＝CE·DE即p2=y1(-y2)∴y1y2=-p2例4：已知过椭圆的右焦点F作倾斜角为α的直线与椭圆交于A、B两点（点A在点B的上方），且F分AB的比为λ，e为离心率，求证：cosα＝证明：如图10，l为右准线，F为右焦点，E为l与x轴的交点，AG⊥l，BH⊥l，AC⊥x轴，设｜AG｜＝a，｜BH｜＝b由于｜AF｜＝e｜AG｜，｜BF｜＝e｜BH｜，所以，根据引理，｜FE｜＝，亦知λ＝当倾斜角α∈（0，）时，cosα＝＝＝＝＝当倾斜角α∈（，π）时，cos（π－α）＝－cosα＝＝＝＝＝∴cosα＝当α＝时，cosα＝0，λ＝1，满足cosα＝此例题来自文⑵，原证明方法运用了大量的坐标运算，非常复杂，运用本文性质，计算量明显减少。另外，原文中结论为“cosα＝”，由本文证明过程可以发现这个结论是错误的。数学模型化是将不同的问题情境置于同样的数学模型之中，用相同的数学模型解决不同背景的问题，这属于一种联系性的思维方式，在数学教学中，我们如果能够经常性的引导学生进行这样的思考，将有助于学生知识形成系统化与条理化，这对学生能力的提升是不无裨益的。参考文献：⑴江春莲，彭翕成，基于《超级画板》的探究性教学案例⑶——当点被分裂开来，数学通讯，2008,5；⑵惠润科，圆锥曲线的一个性质及应用，数学通报，2006,8；作者简介：王鸿，兰州市八十二中，中学高级教师，教育硕士，