空间向量的数量积运算VIP专享VIP免费

平面向量数量积的定义OABabab向量的夹角：0,cos,cosabababababab已知两个非零向量与我们把数量叫做与，记作即数量积的,,,,,,,,已知两个非零向量在空间任取一点作则叫做向量的夹角记作abOOAaOBbAOBabab�OABaabb(1)向量的夹角：0,ab向量的夹角(2),,＝abba(3),2如果，则称与垂直，记作ababab空间向量数量积的定义coscosabababababababab已知空间两个非零向量，，则，叫做，的，记作，即积，数量2cos0aaaaaaaababab①两个向量的数量积是，而不是向量。②零向量与任意向量的数量积等于零。③，④，数量为非零向量平面向量数量积的运算律：(1)()()(2)()(3)()()交换律分配律abababbaabcabac思考：(1)abacbc由，能得到吗？(2)对于向量，成立吗？)()（abcabc,,abc空间向量数量积的运算律：(1)()()(2)()(3)()()交换律分配律abababbaabcabac若m、n是平面α内的两条相交直线，且l⊥m，l⊥n.则lα.⊥glmn线面垂直的判定定理：例．已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPA三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆命题成立吗?在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.三垂线定理的逆定理：αOAPll例．已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAαOADPl引申：AD//l,OA=1,AD=2,PO=3,(1)求和夹角的余弦值.ODAP(2)求P,D间的距离；空间向量数量积可以解决的立体几何问题：3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；2）证明垂直问题；1）线段的长（两点间的距离）；cos,ababab0;abab2aaa2aa，也就是说(,)ab是非零向量-''''4,3,'5,90,''60,'ABCDABCDABADAABADBAADAAAC如图，在平行六面体中，求的长。111111=2ABCABCABBBABCB如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）(A)60(B)90(C)105(D)75OABCEF已知点O是正△ABC平面外一点，若OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是AB、OC的中点，用向量法解决下列问题：(1)计算；(2).证明；(3)求EF的距离;(4)求OE与BF所成角的余弦值.AOOB�ABOC