活动案例一：根号2有多大呢背景介绍张老师的教龄有15年了，他很敬业，与学生的关系也较融洽。用人教社的新教材是第一次，看完教材后，他发觉新教材的教学内容发生了较大的变化，实数的内容被提前到勾股定理之前，这对平方根概念的接受增加了难度。为此，他对教材进行认真的钻研，尽量使教学过程更符合学生的思维特点，找准思维的起点。下面是他讲“有多大呢？”的教学片断。情境描述师：讲完算术平方根的概念后，今天数学课的教学内容是用逼近法探求有多大和用计算器求一个数的算术平方根．（师生复习了算术平方根的概念）师：求一个正数或零的算术平方根有两种情况，当这个数是完全平方数时，可以直接用平方的方法算出它的平方根，例如：9的算术平方根是3，0．01的算术平方根是0．1；当这个数a不能表示成另一个数的平方时，我们暂时还不能求出它的算术平方根的具体数值，但可以用符号来表示，例如上节课我们已经用拼图的方法知道了面积为2的正方形的边长是，这就是说数2的算术平方根是。那么究竟是多少呢?先请同学们独立思考，然后再讨论交流。（同学们有些在看着面积为2的正方形若有所思，有在草稿纸上画图思考，有些几个同学在低声交流。约2分钟后──）生1：老师，我没有求出的具体大小，但我觉得的大小应该在1和2之间。师：为什么？请讲理由。生1：我是看书上的图后有这样的感觉的。师：好，是否可以说得更明白些呢？生2：通过画图我发现，面积为1的正方形的边长是1，面积为4的正方形的边长为，而面积为2的正方形比1大比4小，所以它的边长应该在1和2之间．（张老师在黑板上画出了3个正方形的草图，有了图，其他同学对生2的想法表示理解。）师：（板书）：1<<2．也即2是1点几的数，它到底应等于多少呢？（这下同学们好像看到了希望，热情高了不少，动手动脑的人看上去更多了。）生3：（自言自语地）只要确定十分位的数就好了，可怎么办呢？师：（附和着生3）是呀，可怎么确定十分位数的大小呢？生4：（高兴地）我知道了，1．5，对是1．5．应是1与2的中间数1．5．生2：（大声地）不对不对，1．5的正方形面积是1．52＝2．25比2大。（稍停）那应该是1．4，但1．42＝1．96，又太小了，奇怪呀，怎么会这样呢？（这时，教室里的声音大起来了，同学们感到有些迷惑，好像猜谜时已经很接近谜底但又说不出具体的结果的感觉．他们在思考，在猜测，在议论……）生5：十分位的数是4，其实我们已经给求出来了．（有些同学表示不解，张老师也要求生5说理由）生5：比1．5小而又比1．4大的数应该是1．4……，这不是可以肯定它的十位数是4了吗？（此言一出，教室里先是安静，然后响起了热烈的掌声）师：对，很好．也就是1．4<<1．5，即2＝1．4…，这个百分位上的数？那么是多少呢？（马上有同学进行回答）生6：百分位上的数是1，我用刚才的方法，计算出1．412和1．422，它们分别是1．9881和2．0164，而2在这两个数之间，所以百分位上的数是1。师：（板书）1．41<<1．42，即＝1．41…，现在我们已经有了很好的经验，大家可以类似地用刚才的方法，分别求出它的千分位、万分位等数位上的数，看看究竟会等于多少呢？（同学们借助计算器，很快就求出了千、万分位上的数。但是对于究竟等于多少还是无法求出，并且出现了两种不同的观点。教室里开始热闹起来了，争论声也此起彼伏，张老师听着同学们的争论，也不急于表态．稍停，他请争论的一方代表发言）生7：我认为这个数是不存在的，因为我们已经计算到它的万分位了，还不能求出它的精确值，并且按这种算法可以预见它的精确的结果是求不出来的，所以这个数是不存在的。（教室里安静下来了，另一方的有些同学也感觉生7讲得有道理）（张老师请持有另一种观点的学生发表意见）生8：我认为这个数是存在的，因为面积是2的正方形是存在的，我们已经拼出来了，而它的边长就是，这个长度不就是的值吗？（教室里更安静了，觉得生8讲得也很有道理，这下他们可分不清到底谁是正确的了，同学们只好拿眼睛看着张老师，好像他的脸上写着答案一样）师：确切地说这个数的精确值是无法求得的，正如生7理解的那样，我们可以不断地计算出它的小数位数，并且这些数是没有规...
