第六章 第七节 数学归纳法VIP免费

1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．数学归纳法[理要点]一、数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤：1．(归纳奠基)证明当n取时命题成立；2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0(n0∈N*)n＝k＋1二、数学归纳法的框图表示[究疑点]1．第一个值n0是否一定为1呢？提示：不一定，要看题目中n的要求，如当n≥3时，则第一个值n0应该为3.2．数学归纳法的两个步骤各有何作用？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推．两者缺一不可．[题组自测]1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0解析：边数最小的凸多边形是三角形．答案：C2．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2解析：f(n)表示n项的和，则f(n＋1)＝1n＋1＋1＋1n＋1＋2＋…＋1n＋1＋n＋1n＋1＋n＋1.∴f(n＋1)－f(n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.答案：D3．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝12×1×2×1＋2＝18，等式右边＝141＋1＝18.等式左边＝等式右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1，则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋1[2k＋1＋2]＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14k＋1＋1所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．[归纳领悟]1．用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．2．由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．注意：第一，不要忘记归纳假设；第二，归纳假设后，可利用分析法和综合法．[题组自测]1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案：C2．用数学归纳法证明：n2＋n＜n＋1(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，显然命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，原不等式成立，即k2＋k＜k＋1，∴k2＋k＜(k＋1)2.则当n＝k＋1时，左边＝k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2＝k2＋k＋2k＋2＜k＋12＋2k＋2＝k2＋4k＋3＜k2＋4k＋4＝k＋2＝(k＋1)＋1，∴k＋12＋k＋1＜(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，原不等式成立，由(1)(2)知原不等式对n∈N*成立，即n2＋n＜n＋1(n∈N*)．3．用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＞1＋k2＋2k·12k＋2k＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＜12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．即1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．[归纳领悟]用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．注意：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等.[题组自测]1．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋...