第五节 函数的幂级数展开式VIP免费

第五节函数的幂级数展开式nnnxaxf0)(问题:2.如果能展开,是什么?na3.展开式是否唯一?1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?nnnxxaxf)()(00或麦克劳林展开式泰勒展开式求幂级数,在其收敛域内以f(x)为和函数—函数的幂级数展开。函数)(xf能展开成幂级数0nnnxa的必要条件是)(xf在点0x处有任意阶导数，且系数定理,)0(0fa,!1)0(1fa,!2)0(2fa!)0()(nfann证略20)(!2)0(!1)0()0(!)0()(xfxffxnfxfnnn函数)(xf能展开成幂级数0nnnxa的充分条件是定理,0)(limxRnnDx其中D是幂级数0)(!)0(nnnxnf的收敛域，2!2)0(!1)0()0()()(xfxffxfxRnnnxnf!)0()(称为n阶余项.基本展开式,!!21!e20nxxxnxnnnx),(x,1)0(0fa!11!1)0(1fa!1!)0()(nnfann注意到xnxee)()(所以,!5!3!)12()1(sin53012xxxnxxnnn),(x,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x,32)1()1ln(3211xxxnxxnnn]1,1(x2!2)1(1)1(xxxnxnn!)1()1()1,1(x间接法求展开式:利用已知展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例1将下列函数展开成x的幂级数.,!e0nnxnx),(x02!)(e2nnxnx,!)1(02nnnxn),(x2e)((1)xxf解!5!3!)12()1(sin53012xxxnxxnnn),(x!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x两边求导,得xxfcos)((2)解因为211)(xxf02)(nnx,两边从0到x积分,得解5312)1(arctan53012xxxnxxnnn]1,1[x1||xxxfarctan)((3)把函数展开成幂级数的步骤:2.求出展开式的收敛域;1.利用求导,积分,变量代换等求出展开式;3.写出展开式(带收敛域).解)34ln()(2xxxf)1)(4ln(xx)1ln()4ln(xx)1ln()41ln(4lnxx,32)1()1ln(3211xxxnxxnnn]1,1(x)34ln()((4)2xxxf111)1(414lnnnnnnxnxn解)34ln()(2xxxf111)1(414lnnnnnnxnxn,4)4(14ln1nnnnxn]1,1(x)34ln()(2xxxf14|)1(4/1|4|4)4(1|nnnnnnnnnn当x=1时11),)1(41(4)4(1nnnnnnnnn收敛。当x=-1时11),14)1(()1(4)4(1nnnnnnnnnn发散。解)2cos1(21cos2xx,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x02!)2()2()1(2121nnnnx,!)2(2)1(11212nnnnxn),(xxxf2cos)((5)(课堂练习)例2思路:将函数)34ln(2xx展开为(3x)的幂级数.注意到在上式两边令,3tx)34ln(2xx,)34ln(2tt我们通常是利用马克劳林展开式来求函数的泰勒展开式.设级数的泰勒展开式为02)3()34ln(nnnxaxx于是有02)34ln(nnntatt例2解将函数)34ln(2xx展开为(3x)的幂级数.tx3令)34ln(2xx,)34ln(2tt,4)4(14ln)34ln(12nnnntntt]1,1(t由例1(4)知，所以)34ln(2xx,)3(4)4(14ln1nnnnxn]2,4(x将xxf41)(展开成)1(x的幂级数.(课堂练习)解x41tx1令,1tx51151tt510)5(51nnt015)1(nnnnt于是而t51例3,)1(5)1(01nnnnx收敛域:51x,即)6,4(x.,5)1(01nnnntt515||t所以x41作业：P35616:(1),(5)17:(1)