上极限与下极限VIP免费

１预备知识：上级限和下级限对于一个有界数列去掉它的最初项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确为，下确界为，亦即可见．令，于是得到一列和一列．显然数列是单调减少的，是单调增加的,所以这两个数列的极限都存在．我们称的极限是的上级限，设它是．的极限是的下极限,设它是.并分别将上极限和下极限记为．也就是由于，得：}{nakkk,,,infinf,,,supsup321321kkknknkkkknknkaaaaaaaakk,3,2,1kkkkkkHkh,lim,limnnnnaakknknknnaaHlimsuplimlimkknknknnaahliminflimlimkkHh}{na}{na如果数列无上界，我们就说，如果数列无下界，就说下面给上极限和下极限的重要性质．定理１设，则（i）当为有限时，对于的任何领域，在数列中有无穷多个项属于这个领域，而在中最多只有限多个项（包括一项也没有）（ii）当时，对任何数，在中必有无穷多个项大于（iii）当时，数列以为极限．nannaHlimnannahlimnnaHlimHHnaHH,H0NnaHnaHH,N证明（i）当时，假设存在某一正数，使得在中有有限多个项大于，那么必存在，当时，一切皆有．于是上确界因此这与定理的假设矛盾，这就证明了对任何，在中必有无穷多个项大于再来证明，在中最多只有有限多个项大于．因为，由于，故存在,当时有,而又是的上确界,所以当时,对一切正整数成立,这就证明了大于的只可能有有限多个(包括一个也没有).H0na0H0n0nnna0Han0,2,1supHaannn0nnonnnnHaHlimlim0naHnaHHnnlimNNnHnn,3,2,1nnnaaaNnHanknHna(ii)当时,数列无上界,由此便获得所要的结论.(iii)当时,对任何,存在,当时这表明的极限为.HHna0G0n0nnGann1na定理2设,则(i)当为有限时,对的任何邻域，在数列中有无穷多个项属于这个邻域,而最多只有有限多项小于(包括一项也没有);(ii)当时,对于任何数,在数列中有无穷多个小于;(iii)当时,数列的极限为.证明与定理1完全相仿.nnahlimhhhh,nahh0NnaNhna定理3设为的上极限,那么,在中必存在一个子列,其极限为,并且是中所有收敛子列的极限中的最大值.设为的下极限,那么,在中必存在一个子列,其极限为,并且是中所有收敛子列的极限中的最小值.证明仅以上极限来证明如下.分三种情形来考察:(i)，由定理１知道，必有一个子列收敛于．此外，对任意，在中只可能有有限多个项大于，这就表明所有收敛子列的极限绝不会大于，再由的任意性，便得到所有收敛子列的极限必不大于．（ii）当时，按定理１，存在子列，而其他一切收敛子列的极限当然不会大于．HnanaHHnahnanahhnaHHnaH0naHHHHkna（iii）当时，此时，故数列的一切子列以为极限．这一定理告诉我们，在一个数列中，它的所有收敛子列的极限所组成的数集必有最大值和最小值，并且这个最大（小）值正是的上（下）极限．推论１（有限或无穷大）的充要条件为这个推论容易从定理３得到．例１例2nanaAannlim,3,2,11nnnann,3,2,14cosnnanHnnalimnaAaannnnlimlim