一.第三讲随机变量的函数与特征函数VIP免费

3.1随机变量的函数变换在随机试验E中，设样本空间为S={ei},对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与X(ei)有如下关系：显然，Y的概率特性与X是有关系的。)]([)(iieXgeY第三讲随机变量的函数与特征函数3.1.1一维变换若随机变量X、Y满足下列函数关系如果X与Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即若反函数h(Y)的导数也存在，则可利用X的概率密度求出Y的概率密度。][XY)(][1YhYX综合上述讨论，得到)())(()('yhyhfyfXY如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值y可能对应X的两个或更多的值x1,x2,…,xn。假定一个y值有两个x值与之对应，则有'11'22()(())()(())()YXXfyfhyhyfhyhy一般地，如果y=g(x)有n个反函数h1(y),h2(y),…,hn(y)，则)())(()())(()())(()(''22'11yhyhfyhyhfyhyhfyfnnXXXY3.1.2二维变换设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度f(x1,x2)，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1,y2)。),(),(21222111XXYXXY11122212(,)(,)XhYYXhYY)),(),,((),(),(212211221221112121yyhyyhfyhyhyhyhxxfJyyfXXY3.2随机变量的特征函数3.2.1特征函数的定义随机变量X的特征函数就是由X组成的一个新的随机变量ejwX的数学期望，即][)(XjXeE离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为dxxfeeExXPeeEXxjXjXiixjXjXi)(][)(}{][)(随机变量X的第二特征函数定义为特征函数的对数，即)(ln)(XX对二维随机变量，可用类似的方法定义特征函数2121212211),(),(dxdxexxfxjxjXX21212212211),(41),(ddexxfxjxjXX第二特征函数定义为),(ln),(2121XX特征函数作用可以简化各阶矩的运算可以简化一维随机变量函数的运算可以简化独立随机变量和的分布的计算3.2.2特征函数的性质性质1：性质2：若Y=aX+b，a和b为常数，Y的特征函数为1)0()(X)()(aeXbjY性质3：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若则NnnXY1NnXYn1)()(3.2.3特征函数与矩函数的关系矩函数与特征函数之间存在如下关系：00|)()(][|)(][nXnnnXddjXEddjXE3.2.4特征函数与概率密度的关系()()1()()2jxXXjxXXfxedxfxed由定义可知，特征函数与概率密度函数有类似傅氏变换的关系略有不同，指数项差一符号3.3常见分布3.3.1常见的离散型分布一.两点分布如果随机变量X的分布为则称X服从两点分布，也称为贝努里分布。当a、b分别为0、1时，称这种分布为0－1分布。XPab1－pp二.二项分布设随机试验E只有两种可能的结果且将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A发生m次的概率为称为二项分布。,AAqpAPpAP1)(,)(()0mmnmnnPmCpqmn三.泊松分布设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,且分布密度为则称X服从泊松分布。{}!0,1,2,,0kPXkekk3.3.2常见的连续分布一.均匀分布设连续型随机变量X在有限区间[a,b]内取值，且其概率密度为则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。elsebxaabxfX01)(随机变量X的分布函数为bxbxaaxabaxxFX10)(12)(;222abbamXX1)一维高斯分布高斯变量X的概率密度为：222)(21)(mxXexf二.高斯分布概率分布函数)(21)(22mxdtexFmxtX对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令，归一化后的概率密度为2221)(yYeyfmXY服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X，其特征函数为22)(eX服从的高斯变量Y，其特征函数为),(2YYmN222)(YYmjYe（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数）也为高斯变量，且（2）独立高斯变量之和仍为高斯变量。222XYXYabamm高斯变量特点：推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即若Xi服从，则其和的数学期望...