专题10解析几何中的综合问题【高考趋势】解析几何的综合问题主要以圆锥曲线为载体，通常从以下面一些方面进行考查：（1）位置问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题，是研究解析几何的重点内容。常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题；（2）定点定值问题、最值问题都是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容；（3）范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围。以上这些问题由于综合性较强，所以备受高考命题者的青睐，常用来考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等方面的能力。【考点展示】1、设F1，F2分别是双曲线x2-的两个焦点，若点P在双曲线上，且=0，则||=2、点P到点A（1，0）和直线x=-1的距离相等，且点P到直线y=x的距离等于，这样的点P的个数为个。3、抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3，写出x1,x2,x3的一个关系式4、设一圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且该圆圆心在此以双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是5、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)，能使这抛物线方程为y2=10x的条件是（要求填写合适条件的序号）。【样题剖析】例1、已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数)（1）求椭圆的方程；（2）设Q是椭圆上的一点，过点F、Q的直线与y轴交于点M，且|，求直线的斜率。例2、如图，F1（-3，0），F2（3，0）是双曲线C的两焦点，直线x=是双曲线C的右准线，A1，A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线A1P，A2P分别交双曲线C的右准线于M，N两点。（1）求双曲线C的方程；（2）求证：是定值。例3、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。【总结提炼】直线与圆锥曲线的位置关系问题，常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题，其解法是充分利用直线与方程思想以及韦达定理；最值问题，其解法是设变量、建立目标函数、转化为函数的最值；范围问题，其解法主要运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识。【自我测试】1、一动圆过点A（0，），圆心在抛物线y=上，且恒与定直线相切，则直线的方程为2、在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有个。3、已知直线是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条。4、设F1，F2为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是。5、已知抛物线y2=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是。6、过双曲线的右焦点F（c,0）的直线交双曲线于M，N两点，交y轴于P点，则有的定值为，类比双曲线这一结论，在椭圆中，是定值7、过双曲线的右焦点F作渐近线y=的垂线，与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e的取值范围为8、已知椭圆E的一个焦点是F1(0,-2),对应的准线方程是y=-,且和的等比中项是离心率e。（1）求椭圆E的方程；（2）如果一条直线与椭圆E交于M、N两个不同点，使得线段MN恰好被直线x=-平分，试求直线的倾斜角的取值范围。9、在平面直角坐标系xy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。10、如图，已知抛物线C：x2=2py(p0)，顶点为，过抛物线C上一点A(m,n)（m≠0）作它的...
