长春市十一高中2010-2011学年度高二上学期期中考试数学试题（理科）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。一、选择题：（每题5分，共60分）1.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是（）2．函数在区间上是()增函数减函数在上增，在上减在上减，在上增3．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是()3x–4y=0,且x＞04x–3y=0,且0≤y≤44y–3x=0,且0≤x≤33y–4x=0,且y＞04.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则()645.已知，，，点在平面内，则（）8910116．设在内的导数有意义，则是在内单调递减的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件即不充分也不必要条件7.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（）8.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（）9．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（）10．已知是异面直线，，，，且,则与所成的角是（）11．已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是（）[-13，13](-13，13)[-12，12]（-12,12）12．函数在处取得极值，则的值为（）102二、填空题：（每题5分，共20分）13.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_______14.曲线在点处的切线与直线垂直，则__________15．已知函数，且，则的值为________16.以两个腰长均是1的等腰直角三角形和等腰直角三角形为面组成的二面角，则两点与之间的距离是__________三、解答题：（17、18、19、20、21每题12分，22题10分）17.已知函数,（1）求的单调区间；（2）若，求在区间上的最值；18.正的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点，现将沿CD翻折成直二面角,（1）求证：；（2）若点P在线段BC上，且BC=3BP，求证.ABCB1C1A1NCFEDABPABCB1C1A1N19.已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，N为侧棱上的点，若平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为，试确定点N的位置。20.已知抛物线上一点M(1,1)，动弦ME、MF分别交轴与A、B两点，且MA=MB。证明：直线EF的斜率为定值。21.已知函数.（1）若在R上为增函数，求实数的取值范围；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。22.已知是圆上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作轴的垂线段，交椭圆于点，动点P满足.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设和分别表示和的面积，当点P在轴的上方，点A在轴的下方时，求+的最大值。2010-2011学年上学期高二期中考试数学试题（理）参考答案一．选择题：BABCDABAABBA二．填空题：13.14.215.216.三．解答题：17.解：已知，则.（1）若时，总成立，则为单调递增；若时，当时，即，单调递增；当时，即，单调递减。综上：当时函数的增区间为，当时，的递增区间为，，递减区间为（2）若，有，，当时，由（1）得的增区间为，，减区间为，所以，有极小值，极大值。又由于，，因此，函数在区间上的最大值是最小值是-18.（1）已知E、F分别是AC和BC的中点，所以,又,且，（2）,为二面角的平面角，，所以，建系如图，得,,,已知点P在线段BC上，且BC=3BP，所以,，，于是,19．解：取线段AC中点O，线段中点，连接OB、，由已知得，,建系如图。ADBCFECFEDABP有,,C(-1,0,0)，,,，设设是平面的法向量，是平面的法向量，由,，可求的，由,，可求的，已知平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为，所以，于是，解得：。于是点N是线段中点。20.解：设，，有，因为,所以,即：于是，直线EF的斜率为定值21.解：（1），，在R上是单调递增函数，恒成立，于是，，解得：（2）令若当时，不等式恒成立，则当时，时，总成立，则是增函数，，满足题意；当时，时，得，有x02__0+减函数极小值增函数由图表可知：，所以，解得：或。又，所以当时，时，总成立，2函数是减函数，所以，解得与矛盾，舍综上可得：的取值范围是。22.解：（1）设，，,则，从而,,由于,所以=0，进而根据，可得点是线段AP的中22点，所以有，由以上各式得：所以动点P的轨迹方程为（2）根据（1）得直线AB的直线方程为：，从而点P到直线AB的距离为，又|AB|=，所以而，所以=又有=，当且仅当时取等号。所以=，即的最大值是2
